地理統計

地理統計（英語：geostatistics，或譯作地統計學、地學統計、地質統計學等）是統計學中關注空間或時空數據集的一個分支，最初是從採礦作業中預測礦石品位的概率分佈而發展出來的^[1]，目前已應用於石油地質學、水文地質學、水文學、氣象學、海洋學、地球化學、地質冶金學（英語：Geometallurgy）、地理學、林業、環境控制、景觀生態學、土壤學，以及農業（尤其是精準農業）等多個學科。地理統計應用於地理學的各個分支，特別是涉及疾病傳播（流行病學）、商業和軍事規劃（物流）的實踐，還應用於建設高效的空間網絡（英語：Spatial network）。地理統計相關算法已融入地理資訊系統（GIS）等許多應用場景。

背景[編輯]

地理統計與插值方法密切相關，但遠不止簡單的插值問題。地理統計技術依賴基於隨機函數（或隨機變量）理論的統計模型來模擬與空間估計和模擬相關的不確定性。

許多更簡單的插值方法/算法，例如反距離加權、雙線性插值和最近鄰插值，在地統計學問世前就已經普及。^[2]但地統計學超越了插值問題，將位於未知位置的要研究的現象視作一組相關的隨機變量。

令 $Z (x)$ 為特定位置 $x$ 處的感興趣變量的值。這個值是未知的（例如溫度、降雨量、測壓水位、地質相等）。儘管可以前往位置 $x$ 測量該數值，但地統計學認為該值在尚未測量時是隨機的。然而， $Z (x)$ 又不完全隨機，可以用累積分佈函數（CDF）定義，而該函數依賴於關於 $Z (x)$ 值的某些已知資訊（information）：

F({\mathit {z}},\mathbf {x} )=\operatorname {Prob} \lbrace Z(\mathbf {x} )\leqslant {\mathit {z}}\mid {\text{information}}\rbrace .

通常，如果靠近 $x$ 的某些位置（或位於 $x$ 的鄰域中）的 $Z$ 的值已知，則可以通過該鄰域來約束 $Z (x)$ 的累積分佈函數：如果假設空間是高度連續的（空間自相關），則 $Z (x)$ 必與附近的值相似。相反，若空間連續性很弱，則 $Z (x)$ 可以取任何值。隨機變量的空間連續性可以用空間連續性模型來描述；它可以是基於變差函數的地統計學中的參數形式的模型，也可以是非參數形式的，如多點模擬^[3]或偽遺傳方法。

研究者可將單個空間模型應用在整個定義域上，藉此假設 $Z$ 是一個平穩過程。它表示相同的統計屬性適用於整個定義域。許多種地理統計方法提供了將這些平穩性假設的條件放寬的方法。

該框架中，可以區分兩個建模目標：

估計 $Z (x)$ 的值，通常使用累積分佈函數 $f (z, x)$ 的期望值、中位數或眾數。其通常表現為估計問題。
考慮每個位置上的每種可能結果，從整個概率密度函數 $f (z, x)$ 中採樣。其方法通常是建立幾個替代性的 $Z$ ，稱為實現（realization）。考慮在 $N$ 維網格節點（或像素）中離散化的域。每個實現都是完整 $N$ 維聯合分佈函數的樣本

F(\mathbf {z} ,\mathbf {x} )=\operatorname {Prob} \lbrace Z(\mathbf {x} _{1})\leqslant z_{1},Z(\mathbf {x} _{2})\leqslant z_{2},...,Z(\mathbf {x} _{N})\leqslant z_{N}\rbrace .

該方法承認插值問題存在多種解法。每個實現都被視作真實變量可能取值的情形。然後，所有與之相關的工作流都在考慮實現的集成，從而考慮允許概率預測的預測集成。因此，地統計學常用於在求解逆問題時生成或更新空間模型。^[4]^[5]

地理統計估計和多重實現方法都存在許多方法。一些參考書提供了該學科的全面概述。^[6]^[2]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]

方法[編輯]

估計[編輯]

克里金法[編輯]

克里金法（Kriging）是一類地統計技術，用於在缺少觀測值的位置，根據在附近位置的觀察值插入隨機場的值（例如高程z）。

貝氏估計[編輯]

貝氏推論是一種統計推論方法，它使用貝氏定理在獲得更多證據或資訊時更新概率模型。貝氏推論在地統計學中日益重要。^[16]貝氏估計通過空間過程實現克里金法，最常見的是高斯過程，並使用貝氏定理更新該過程以計算其後驗概率。另有高維貝葉斯地統計學。^[17]

有限差分法[編輯]

考慮到概率守恆原理，循環差分方程（有限差分方程）可與格網相結合，計算概率，對地質構造的不確定性進行量化。此過程是馬可夫鏈和貝葉斯模型的數值替代方法。^[18]

模擬[編輯]

聚合
分解
Turning bands
科列斯基分解
截斷高斯
Plurigaussian
Annealing
光譜模擬
序列指標
序列高斯
Dead Leave
轉移概率
馬可夫鏈地理統計
馬可夫網格模型
支持向量機
布林模擬
遺傳模型
偽遺傳模型
元胞自動機
多點地統計學

定義和工具[編輯]

區域化變量理論（英語：Regionalized variable theory）
協方差函數
半方差
變差函數（英語：Variogram）
克里金法（英語：Kriging）
基台值
變程
金塊效應（英語：Nugget effect）

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

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外部連結[編輯]

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[1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, a resource on the internet about geostatistics and spatial statistics
On-Line Library that chronicles Matheron's journey from classical statistics to the new science of geostatistics （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
[2] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
https://web.archive.org/web/20040326205028/http://geostatscam.com/ Is the site of Jan W. Merks, who claims that geostatistics is "voodoo science" and a "scientific fraud"
[3] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） It is a group for exchanging of ideas and discussion on multiple point geostatistics (MPS).

[1] Krige, Danie G. (1951). "A statistical approach to some basic mine valuation problems on the Witwatersrand". J. of the Chem., Metal. and Mining Soc. of South Africa 52 (6): 119–139

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[5] Kitanidis, P.K. and Vomvoris, E.G. (1983). "A geostatistical approach to the inverse problem in groundwater modeling (steady state) and one-dimensional simulations", Water Resources Research 19(3):677-690

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[8] Chilès, J.-P., and P. Delfiner (1999), Geostatistics - Modeling Spatial Uncertainty, John Wiley & Sons, Inc., New York, USA.

[9] Lantuéjoul, C. (2002), Geostatistical simulation: Models and algorithms, 232 pp., Springer, Berlin.

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[15] Schnetzler, Manu. Statios - WinGslib. [2023-05-14]. （原始內容存檔於2015-05-11）.

[16] Banerjee S., Carlin B.P., and Gelfand A.E. (2014). Hierarchical Modeling and Analysis for Spatial Data, Second Edition. Chapman & Hall/CRC Monographs on Statistics & Applied Probability. ISBN 9781439819173

[17] Banerjee, Sudipto. High-Dimensional Bayesian Geostatistics. Bayesian Anal. 12 (2017), no. 2, 583--614. doi:10.1214/17-BA1056R. https://projecteuclid.org/euclid.ba/1494921642 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

[18] Cardenas, IC. A two-dimensional approach to quantify stratigraphic uncertainty from borehole data using non-homogeneous random fields. Engineering Geology. 2023. doi:10.1016/j.enggeo.2023.107001 .

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