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伊藤積分

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布朗運動及布朗運動的伊藤積分

伊藤微分(英語:Itō calculus)得名自日本數學家伊藤清,是將微積分的概念擴展到隨機過程中,像布朗運動維納過程)就可以用伊藤微積分進行分析。主要應用在金融數學隨機微分方程中。伊藤微積分的中心概念是伊藤積分,是將傳統的黎曼-斯蒂爾傑斯積分延伸到隨機過程中,隨機過程一方面是一個隨機變量,而且也是一個不可微分的函數。

藉由伊藤積分,可以將一個隨機過程(被積分函數)對另一個隨機過程(積分變量)進行積分。積分變量一般會布朗運動。從的積分結果是一個隨機變量。此隨機變量定義為一特定隨機變量序列的極限(有許多等效的方式可建構上述的定義)。

伊藤積分是對半鞅X以及隨機過程H的積分

這裏X布朗運動,或者更廣義地,是一個半鞅H是一個適配於由X生成的篩選的,本地平方可積分的過程(Revuz & Yor 1999,Chapter IV)。布朗運動的路徑無法滿足應用於微積分標準技術的需求。特別地,其在任意點不可微,並且在每一個時間間隔都有無限變差。其結果是,無法用普通的方法定義積分(參考黎曼-斯蒂爾傑斯積分)。主要的創新是只要調配被積函數,就可以定義一個積分,不嚴格的講,即t時刻它的值僅僅依靠此時刻之前的可用資訊。

伊藤過程的重要結果包括分部積分公式伊藤引理,即變量公式的變形。這些由於二次方差項,都與標準微積分公式不同,

股票價格和其他可交易資產的價格可以通過隨機過程進行建模,例如布朗運動,或者,更經常的,幾何布朗運動(參見布萊克-舒爾斯模型)。然後,伊藤隨機積分代表,在時間t持有一定數量Ht的股票,對其進行連續交易的回報。這種情況下,調配H就相應於,在任何時候只使用可用資訊的交易策略限制。這也阻止了通過高頻交易獲得無限收益的可能性:市場中每個上漲之前買入股票,每個下跌之前賣出股票。相似地,調配H的條件暗示,當作為黎曼和極限進行計算的時候,隨機積分不會收斂(Revuz & Yor 1999,Chapter IV)。

伊藤引理

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伊藤引理

物理學家的伊藤積分

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隨機微分方程

朗之萬方程

泛函積分

有關條目

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參考資料

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  • Revuz, Daniel; Yor, Marc, Continuous martingales and Brownian motion, Berlin: Springer, 1999, ISBN 3-540-57622-3 
  • Kleinert. Path integrals in Physics, Polymers, Financial Markets.
  • Oksendal. Stochastic Differential Equations.
  • Scott M. Applied Stochastic Processes.
  • Karatzas, Shreve Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd Edition  1996