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黎曼-西格爾公式

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數學中,黎曼-西格爾公式黎曼ζ函數近似函數方程誤差的漸近公式,前者是ζ函數的近似值,由兩個有限狄利克雷級數的和來近似。Siegel (1932)波恩哈德·黎曼1850年代一篇未發表的手稿中發現這個公式。西格爾從黎曼-西格爾積分公式中推導出它,這是一個涉及ζ函數圍道積分的表達式。該公式通常用於計算黎曼-西格爾公式的值,與歐德里茲科-肖恩哈格算法相結合,可以大大加快算法的速度。當沿着臨界線使用時,通常將其變換為關於Z函數的公式比較有用。

如果MN是非負整數,那麼ζ函數等於

其中

是函數方程ζ(s) = γ(1-s) ζ(1 − s)中出現的因數,且

是一個圍道積分,圍道的起點和終點在+∞處,並最多繞絕對值奇點2πM圈。近似函數方程給出了誤差項大小的估計。Siegel (1932)Edwards (1974)通過將最速下降法應用於該積分,推導出黎曼-西格爾公式,將誤差項R(s)漸近展開為Im(s)的負冪次級數。在應用中,s通常位於臨界線上,並且選擇正整數MN約為(2πIm(s))1/2Gabcke (1979)發現了一個黎曼-西格爾公式誤差的較好界限。

黎曼積分公式

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黎曼證明了

積分圍道是一條斜率為-1的線,通過0和1之間(Edwards 1974,7.9)。

他用此給出了以下ζ函數的積分公式:

參考

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外部連結

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