積分因子

積分因子是一種用來解微分方程的方法。

方法

考慮以下形式的微分方程：

$y'+a(x)y=b(x)......(1)$

其中$y=y(x)$是$x$的未知函數，$a(x)$和$b(x)$是給定的函數。

我們希望把左面化成兩個函數的乘積的導數的形式。

考慮函數$M(x)$。我們把(1)的兩邊乘以$M(x):$

$M(x)y'+M(x)a(x)y=M(x)b(x)......(2)$

如果左面是兩個函數的乘積的導數，那麼：

$(M(x)y)'=M(x)b(x)......(3)$

兩邊積分，得：

$y(x)M(x)=\int b(x)M(x)\,dx+C,$

其中$C$是一個常數。於是，

$y(x)={\frac {\int b(x)M(x)\,dx+C}{M(x)}}.\,$

為了求出函數$M(x)$，我們把(3)的左面用乘法定則展開：

$(M(x)y)'=M'(x)y+M(x)y'=M(x)b(x).\quad \quad \quad$

與(2)比較，可知$M(x)$滿足以下微分方程：

$M'(x)=a(x)M(x)......(4)\,$

兩邊除以$M(x)$，得：

${\frac {M'(x)}{M(x)}}-a(x)=0......(5)$

等式(5)是對數導數的形式。解這個方程，得：

$M(x)=e^{\int a(x)\,dx}.$

我們可以看到，$M'(x)=a(x)M(x)$的性質在解微分方程中是十分重要的。$M(x)$稱為積分因子。

例子

解微分方程

$y'-{\frac {2y}{x}}=0.$

我們可以看到，$a(x)={\frac {-2}{x}}$：

$M(x)=e^{\int a(x)\,dx}$

$M(x)=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}$

$M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.$

兩邊乘以$M(x)$，得：

${\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0$

$\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0$

或

${\frac {y}{x^{2}}}=C$

可得

$y(x)=Cx^{2}.$

一般的應用

積分因子也可以用來解非線性微分方程。例如，考慮以下的非線性二階微分方程：

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}$

可以看到，${\tfrac {dy}{dt}}$是一個積分因子：

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.$

利用複合函數求導法則，可得：

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right)$

因此

$\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}$

利用分離變量法，可得：

$\int {\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t+C_{1},$

這就是方程的通解。

參見

• 微分方程
• 乘法定則
• 全微分

參考文獻

• Adams, R. A. Calculus: A Complete Course, 4th ed. Reading, MA: Addison Wesley, 1999.