積

積（英語：Product）是數學中多個不同概念的稱呼。算術中，兩個數或多個數相乘得到的結果稱為它們的積或乘積。^{[註 1]}

當相乘的對象多於兩個時可以稱為連乘^{[註 2]}的時候，常常使用連乘號∏^{[註 3]}表示，類似多個對象的加法使用求和符號∑。^[1]

一般約定，相乘的對象只有一個的時候，乘積是對象本身；沒有相乘的對象時也可以約定所謂的空積為1。

代數對象的積[編輯]

各種代數結構中的對象可以通過定義不同的二元運算得到不同的積。比如說，平面向量可以定義點積，三維向量可以定義叉積和混合積。常見的積還包括：

向量空間中兩個向量的內積
矩陣集合中矩陣的乘積
矩陣的阿達馬乘積
矩陣的克羅內克乘積
張量的外積
張量的張量積
兩個函數的

代數結構的積[編輯]

在研究抽象代數中的代數結構時，常常會用到代數結構的積的概念。兩個代數結構的積，一般定義為將兩個代數結構里的元素通過一個二元映射對應為一個新的元素，然後將新的元素通過適當的規則組成的新的代數結構。如果兩個代數結構的元素個數都是有限個，那麼它們的積的元素個數將會是它們分別元素個數的乘積。這也是這種新代數結構被稱為積的原因之一。

常見的代數結構的積有：

注釋[編輯]

^ 當相乘的數是實數或複數的時候，相乘的順序對積沒有影響，這稱為交換性。當相乘的是四元數或者矩陣，或者某些代數結構里的元素的時候，順序會對作為結果的乘積造成影響。這說明這些對象的乘法沒有交換性。
^ 英語：product of a sequence
^ 或稱求積符號，即大寫的 $π$

參考來源[編輯]

^ Weisstein, Eric W. (編). Product. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-08-16]. （原始內容存檔於2022-06-02）（英語）.

[1] 當相乘的數是實數或複數的時候，相乘的順序對積沒有影響，這稱為交換性。當相乘的是四元數或者矩陣，或者某些代數結構里的元素的時候，順序會對作為結果的乘積造成影響。這說明這些對象的乘法沒有交換性。

[2] 英語：product of a sequence

[3] 或稱求積符號，即大寫的 $π$

[:0-4] Weisstein, Eric W. (編). Product. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-08-16]. （原始內容存檔於2022-06-02）（英語）.

[註 1]

[註 2]

[註 3]

[1]