本迪克森-杜拉克定理

在數學裡，本迪克森-杜拉克定理說明了對於一個二維的駐定動力系統

{\frac {dx}{dt}}=X(x,y),

{\frac {dy}{dt}}=Y(x,y)

如果存在 $\varphi (x,y)$ 使得

{\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}\neq 0

在研究區域（必須是單連通的）上幾乎處處成立，那麼這個動力系統不存在周期解。所謂「幾乎處處成立」是指不成立的點的集合是一個測度為零的集合。這個定理可以用格林定理證出。

證明[編輯]

運用反證法，假設研究區域為單連通的區域 $D$ ，其內存在對於動力系統：

{\frac {dx}{dt}}=X(x,y),

{\frac {dy}{dt}}=Y(x,y)

的一組周期解 $(x,y)$ ，其周期為 $T$ ，那麼對於

\Gamma :x=x(t)\,\ y=y(t)\,\ 0\leq t\leq T

所圍成的區域 $D_{\Gamma }\subset D$ ，有

\iint _{D_{\Gamma }}\,({\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}})dx\,dy=\int _{\Gamma }\,\varphi (Xdy-Ydx)

=\int _{0}^{T}\,\varphi (X{\frac {dy}{dt}}-Y{\frac {dx}{dt}})dt=\int _{0}^{T}\,\varphi (XY-YX)dt=0

但是由於使得 ${\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}=0$ 的點 $(x,y)$ 的集合是一個測度為零的集合，所以總可以找到 $\varphi$ 使得 ${\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}$ 在零點之外不變號。這樣 $\iint _{D_{\Gamma }}\,({\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}})dx\,dy$ 不可能為0，矛盾！