有限域算術

有限體運算是抽象代數中的一個概念，尤指在有限體之中進行的運算。其中有限體是一種體，所以包含的元素數量是有限的。作為比較，無限體運算則指在有無限多元素的體(如有理數)中的運算。

不同的有限體有無限多種，它們的勢(英語：Cardinality)皆以 $p^{n}$ 的形式表示，其中 $\ p$ 是一個質數； $n$ 為自然數。兩個元素數量相同的有限體稱做同構的。 $p$ 同時代表此有限體的特徵數，而 $\ n$ 則是此有限體的維度。

有限體有許多不同的應用，包含編碼理論與線性區塊碼(例如BCH碼和里德-所羅門碼)以及在密碼學中的演算法(例如進階加密標準)等不同領域的應用。

有效多項式表示

伽羅瓦體

有 $\ p^{n}$ 個元素的有限體可以表示成 $\ \mathrm {GF} (p^{n})$ ，其中 GF 為伽羅瓦體(英語：Galois field)的縮寫。伽羅瓦體即為有限體的別稱，以紀念現代群論的重要奠基者——埃瓦里斯特·伽羅瓦^[1]。

一個簡單的例子是 $\ \mathrm {GF} (p)$ (也能可表示成 $\ \mathbf {Z} /p\mathbf {Z}$ 或 $\mathbb {F} _{p}$ )，其中 $\ p\$ 是一個質數。 $\ \mathrm {GF} (p)$ 是將正整數作以 $\ p\$ 為模的模運算後所得的結構。換言之，我們可以對整數進行加法、減法、乘法的運算，接著再以模運算將結果簡化。因此 $\ \mathrm {GF} (p)$ 其實也是一種環。

以 $\ \mathrm {GF} (5)$ 為例

在 $\ \mathrm {GF} (5)$ 中， $4+3=2$ 而不會等於 $\ 7$ ，這是因為 $\ 7_{(}mod\ 5)=2$ 。而除法能理解為對其乘法反元素作乘法，並可以使用擴充版的輾轉相除法來計算。

以 $\ \mathrm {GF} (2)$ 為例

$\ \mathrm {GF} (2)$ 的加法為XOR，而乘法是AND。由於唯一具有倒數的元素是數字1，除法則是恆等函數。

GF(pⁿ)的元素可表示為，在GF(p)之上嚴格小於n次數的多項式。運算則實行在先模除R，而R是一則在GF(p)之上，擁有n次數的不可約多項式，例如運用多項式長除法。兩則多項式P和Q則按常規運算；乘法則按如下進行：先按常規計算W = P⋅Q，然後計算模除R之後的餘項(存在有更方便方法)。

當素數是2時，一般按常規可以把GF(pⁿ)的元素表示為二進制數，按對應元素的二進制表示，多項式的每一項表示為一比特的，相對應元素的二進制數位，並且括號( "{"和"}" )或類似的分隔符也普遍附加於這些二進制數，或對應它們的十六進制的同等數，以表明數值確確是域內的一則元素。例如，下列數都在具有2的特徵下持有相同的數值。

多項式: x⁶ + x⁴ + x + 1
二進制: {01010011}
十六進制: {53}

加法和減法

加法和減法可實施在加與減這兩則多項式，再而使用模除其特徵值以簡化。

在一則特徵值為2的有限域之中，加法模2，減法模2，如同使用XOR，因此：

多項式：(x⁶ + x⁴ + x + 1) + (x⁷ + x⁶ + x³ + x) = x⁷ + x⁴ + x³ + 1
二進制： {01010011} + {11001010} = {10011001}
十六進制：{53} + {CA} = {99}

在常規的無限域的多項式的加法下，計算之和需要包含單項 2x⁶，但在有限域的加法下，0x⁶則被去掉，因為其計算結果被模2所消除。

下列是一則包含有對於一些多項式的，常規代數計算和與特徵值為2的有限域的計算和，一同列出的圖表。

p₁	p₂	p₁ + p₂ (normal algebra)	p₁ + p₂ in GF(2ⁿ)
x³ + x + 1	x³ + x²	2x³ + x² + x + 1	x² + x + 1
x⁴ + x²	x⁶ + x²	x⁶ + x⁴ + 2x²	x⁶ + x⁴
x + 1	x² + 1	x² + x + 2	x² + x
x³ + x	x² + 1	x³ + x² + x + 1	x³ + x² + x + 1
x² + x	x² + x	2x² + 2x	0

在計算機科學的諸多應用程序之中，特徵值為2的有限域運算被簡單化，稱之為GF(2ⁿ) 伽羅瓦域，使的這些領域在應用程序中，體現出一種特別大眾化的選擇。

乘法

乘法是在有限域之內，把乘積模除於，一則用來表示有限域的，簡約過的不可約多項式。 (換句話說，乘法再跟上使用，簡約了的多項式充當除數的除法，然後餘數則是它們的乘積。) 符號 "•" 可以用作於在有限域之內的乘法。

Rijndael有限域

Rijndael（Rijndael的發音近於"Rhine doll")使用包含256個元素的持有特徵值是2的有限域，同時可被稱之為伽羅瓦域GF(2⁸)。在乘法上它依賴下列簡約多項式：

x⁸ + x⁴ + x³ + x + 1

例如：{53} • {CA} = {01}，因為在Rijndael域中：

(x⁶ + x⁴ + x + 1)(x⁷ + x⁶ + x³ + x)

= (x¹³ + x¹² + x⁹ + x⁷) + (x¹¹ + x¹⁰ + x⁷ + x⁵) + (x⁸ + x⁷ + x⁴ + x²) + (x⁷ + x⁶ + x³ + x)

= x¹³ + x¹² + x⁹ + x¹¹ + x¹⁰ + x⁵ + x⁸ + x⁴ + x² + x⁶ + x³ + x

= x¹³ + x¹² + x¹¹ + x¹⁰ + x⁹ + x⁸ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x

與

x¹³ + x¹² + x¹¹ + x¹⁰ + x⁹ + x⁸ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x 模除 x⁸ + x⁴ + x³ + x¹ + 1 = (11111101111110 模 100011011) = {3F7E mod 11B} = {01} = 1 (十進制)，同時可被長除法所表示，(使用二進制注釋。注意 XOR在例題中的應用，而不是常規運算中的減法。)：

                        
          11111101111110 (mod) 100011011
         ^100011011     
           1110000011110
          ^100011011    
            110110101110
           ^100011011   
             10101110110
            ^100011011  
              0100011010
             ^00000000  
               100011010
              ^100011011 
                00000001

（十六進制數字{53}和{CA}相互是乘法逆元，由於它們的乘積是1。)

^ C., Bruno, Leonard. Math and mathematicians : the history of math discoveries around the world. Baker, Lawrence W. Detroit, Mich.: U X L. c. 2003: 171 [1999]. ISBN 978-0787638139. OCLC 41497065.

[:0-1] C., Bruno, Leonard. Math and mathematicians : the history of math discoveries around the world. Baker, Lawrence W. Detroit, Mich.: U X L. c. 2003: 171 [1999]. ISBN 978-0787638139. OCLC 41497065.

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