在線性代數中,多重線性映射是有多個向量變量而對每個變量都是線性的函數。
n個變量的多線性映射也叫做n重線性映射。
如果所有變量屬於同一個空間,可以考慮對稱、反對稱和交替的n重線性映射。後兩個是一致的,如果底層的環(或域)有不同於二的特徵,否則前兩個是一致的。
一般討論可見多重線性代數。
在n×n矩陣上多重線性映射[編輯]
可以考慮在有單位元的交換環K上的n×n矩陣上的多重線性函數為矩陣的行(或等價說列)上的函數。設A是這樣的矩陣而
, 1 ≤ i ≤ n是A的行。則多重線性函數D可以寫為
,
滿足
,
如果我們設
表示單位矩陣的第j行,我們用下列方法表示
![{\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j)\varepsilon _{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e27373438cd8409708b7be381ee612610fd6383)
利用D的多線性我們重寫D(A)為
![{\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(i,j)\varepsilon _{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(i,j)D(\varepsilon _{j},a_{2},\ldots ,a_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c161244eb073a3146c1d17c8cfc3ef51c82251)
繼續這種代換於每個
我們得到,對於1 ≤ i ≤ n
![{\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{i}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D(\varepsilon _{k_{1}},\dots ,\varepsilon _{k_{n}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4438200a14dccb96744ce2956e0c12946454f1ea)
所以D(A)是唯一的決定自它如何運算於
上。
在2×2矩陣的情況下我們得到
,
這裡的
且
。如果我們限制D是交替函數,則
且
。設
我們得到在2×2矩陣上行列式函數:
,
多重線性映射有零值,只要它的一個參數是零。
對於n>1,唯一的也是線性映射的n-線性映射是零函數。