正八胞體 |
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![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/7-simplex_t0.svg/220px-7-simplex_t0.svg.png) |
類型 | 正七維多胞體 八胞體 |
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家族 | 單純形 |
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維度 | 七維 |
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對偶多胞形 | 七維正八胞體(自身對偶)![在維基數據編輯](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png) |
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識別 |
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鮑爾斯縮寫
| oca![在維基數據編輯](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png) |
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數學表示法 |
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考克斯特符號
| ![node_1](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) |
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施萊夫利符號 | {3,3,3,3,3,3} {36}![在維基數據編輯](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png) |
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性質 |
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六維胞 | 8個六維正七胞體![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d5/6-simplex_t0.svg/25px-6-simplex_t0.svg.png) |
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五維胞 | 28個五維正六胞體![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/5-simplex_t0.svg/25px-5-simplex_t0.svg.png) |
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四維胞 | 56個正五胞體![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/4-simplex_t0.svg/25px-4-simplex_t0.svg.png) |
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胞 | 70個正四面體![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/3-simplex_t0.svg/25px-3-simplex_t0.svg.png) |
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面 | 56個正三角形![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/2-simplex_t0.svg/25px-2-simplex_t0.svg.png) |
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邊 | 28 |
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頂點 | 8 |
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歐拉示性數 | 2 |
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特殊面或截面 |
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皮特里多邊形 | 正八邊形 |
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組成與佈局 |
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頂點圖 | 六維正七胞體
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d5/6-simplex_t0.svg/50px-6-simplex_t0.svg.png) |
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對稱性 |
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對稱群 | A7 [3,3,3,3,3,3] |
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特性 |
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凸 |
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在幾何學中,七維正八胞體(Octaexon或Octa-7-tope)是一種自身對偶的正七維多胞體[1],
是七維空間的單純形也是七維空間中最簡單的正圖形,因此又稱為7-單純形(7-simplex)[2]:127
,由8個六維正七胞體的六維胞組成,其二面角為cos−1(1/7)約為81.79°[1]。喬納森·鮑爾斯(Jonathan Bowers)將七維正八胞體縮寫為oca[3]。
七維正八胞體共由8個頂點、28條邊、56個三角形的面、70個正四面體的三維胞、56個正五胞體的四維胞、28個五維正六胞體的五維胞和8個六維正七胞體的六維胞組成,其中六維正七胞體為七維正八胞體的維面。
對於一個邊長為a的七維正八胞體,其超胞積是
,表胞積是
,高是
。
若一個七維正八胞體的棱長為1,則其外接七維超球的半徑為
,內切七維超球的半徑為
。[1]
邊長為2的七維正八胞體可以內接於單位七維超立方體中。[4]下一個可以內接於單位超方形的最大單純形為十一維正十二胞體。[5]
作為一種排佈[編輯]
七維正八胞體的排佈矩陣為:[1]
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&7&21&35&35&21&7\\2&28&6&15&20&15&6\\3&3&56&5&10&10&5\\4&6&4&70&4&6&4\\5&10&10&5&56&3&3\\6&15&20&15&6&28&2\\7&21&35&35&21&7&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e950a0096743e1197bd6179498d504cd8c701f9f)
行和列對應於七維正八胞體的頂點、邊、面、胞、四維胞、五維胞和六維胞。對角線上的數字表示該元素在七維正八胞體中的數量。非對角線的數量表示對應行所代表的元素上有多少列所代表的元素交於該處。由於七維正八胞體是一種自身對偶的多胞體,因此這個排佈矩陣旋轉180度後會相同。[6][7]
頂點座標[編輯]
若一個七維正八胞體幾何中心位於原點,且邊長為2單位長,則其頂點座標為:
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6253789eb0cbbaa7d108eab6aeb20cd3963158f)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49150a300e748c14b10e9e1002ca83dd85e2497c)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ 0\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009e191c98774b93b03b2139adf9a322ff9e3da9)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87cb368f35a622dd64c2b96874ec2691bb845b7)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/228ecedf6564247dac820551ee8087ed539c50c9)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b70bd304b4bf5e280fbafb57c4201a5e87b3144)
![{\displaystyle \left(-{\sqrt {7/4}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c37ff3a08d5ecf1c007a2f7a73c763cf2f04cb)
透過將七維正八胞體可以內接於七維超立方體中可以獲得更簡單的座標集合,其值為:[1]
![{\displaystyle \left({\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6aa20a3e8d3320c429ca9807ba720225e481fdd)
![{\displaystyle \left({\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/159816ed156539961ee3e2b40d5a6ac96142c513)
![{\displaystyle \left({\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67ebe768b96570d518058f00e6887405327d5ed)
![{\displaystyle \left({\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbcdf79658f51ea5d195fcf39eb9f5e65b3df7b)
![{\displaystyle \left(-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/141482b0b095025e6cac7ba442cd8d24d21814d3)
![{\displaystyle \left(-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c961d524f6d845a0589b5fb950ddd9cc860e18)
![{\displaystyle \left(-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b187833918e4ba0fcc95a4267041aeed87c49ff)
![{\displaystyle \left(-{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8259b130606d177d79ea8cfad9b047157f71533b)
更簡單地,七維正八胞體可以坐落於八維空間座標(0,0,0,0,0,0,0,1)的排列。這個結構是基於八維正軸體的維面。
正交投影[編輯]
正投影圖
Ak考克斯特平面
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A7
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A6
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A5
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圖像
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二面體群對稱性
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[8]
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[7]
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[6]
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Ak考克斯特平面
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A4
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A3
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A2
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圖像
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二面體群對稱性
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[5]
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[4]
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[3]
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參考文獻[編輯]