Β-二項式分布
機率質量函數 ![Probability density function for the beta-binomial distribution](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Beta-binomial_distribution_pmf.png/190px-Beta-binomial_distribution_pmf.png) |
累積分布函數 ![Cumulative probability distribution function for the beta-binomial distribution](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a4/Beta-binomial_cdf.png/190px-Beta-binomial_cdf.png) |
參數 |
n ∈ N0 —試驗次數
(實數)
(實數) |
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值域 |
k ∈ { 0, …, n } |
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機率質量函數 |
![{\displaystyle {n \choose k}{\frac {\mathrm {B} (k+\alpha ,n-k+\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be8cfdc88df5160a8e4cbfc5ed8880c379ab54d) |
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累積分布函數 |
,其中 3F2(a,b,k)=3F2(1,α+k+1, -n+k+1,k+2, -β-n+k
+2,1) 是廣義超幾何分布 |
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期望值 |
![{\displaystyle {\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727739d4514fb008f635141c9f5676463f9c151b) |
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變異數 |
![{\displaystyle {\frac {n\alpha \beta (\alpha +\beta +n)}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a27af72b63cbefb0144249ad9c8df6aa359d7c) |
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偏度 |
![{\displaystyle {\tfrac {(\alpha +\beta +2n)(\beta -\alpha )}{(\alpha +\beta +2)}}{\sqrt {\tfrac {1+\alpha +\beta }{n\alpha \beta (n+\alpha +\beta )}}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f8577da0d51b8f92bbf1ef9b6e2729bab978bbb) |
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動差母函數 |
![{\displaystyle {\text{for }}t<\log _{e}(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f863482968531ae58c9a480c71bba7bc967c7c5) |
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特徵函數 |
![{\displaystyle {\text{for }}|t|<\log _{e}(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b1a42b627e006c257336b1eab328df07a4b745) |
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Β-二項式分布,或稱貝塔-二項式分布,是概率論與統計學中的有限空間取值的一類離散型概率分布函數。它與一般二項式分布的不同之處,在於它雖然也是表示一系列已知次數的伯努利實驗的成功概率,但其中的伯努利實驗的常數變成了一個隨機變量。作為過度散布的二項式分布,Β-二項式分布在貝葉斯統計、經驗貝葉斯方法以及經典統計學中都常常用到。
當試驗次數 n = 1 的時候,Β-二項式分布退化為伯努利分布,而在α = β = 1 的時候,Β-二項式分布則退化為取值從0 到 n 的離散型均勻分佈。當 α 和 β 足夠大的時候,它能夠任意逼近二項式分布。Β-二項式分布也是多變量波利亞分布在一元時的情況,正如二項式分布和Β分布分別是多項分布和狄利克雷分布在一元時的情況一樣。
矩相關性質[編輯]
Β-二項式分布的前三個矩分別是:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&={\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}\\[8pt]\mu _{2}&={\frac {n\alpha [n(1+\alpha )+\beta ]}{(\alpha +\beta )(1+\alpha +\beta )}}\\[8pt]\mu _{3}&={\frac {n\alpha [n^{2}(1+\alpha )(2+\alpha )+3n(1+\alpha )\beta +\beta (\beta -\alpha )]}{(\alpha +\beta )(1+\alpha +\beta )(2+\alpha +\beta )}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b08123d7cc1c1b79069bd5d3d3f78776de5945)
而峰度則是:
![{\displaystyle \gamma _{2}={\frac {(\alpha +\beta )^{2}(1+\alpha +\beta )}{n\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +n)}}\left[(\alpha +\beta )(\alpha +\beta -1+6n)+3\alpha \beta (n-2)+6n^{2}-{\frac {3\alpha \beta n(6-n)}{\alpha +\beta }}-{\frac {18\alpha \beta n^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323adbf3d2420b0aad8a26912835135151cc7d05)
設
那麼數學期望可以表示成
![{\displaystyle \mu ={\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}=n\pi \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f185b5bb46088456451d71fc9a1e9ac89917718)
而方差則是:
![{\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {n\alpha \beta (\alpha +\beta +n)}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}=n\pi (1-\pi ){\frac {\alpha +\beta +n}{\alpha +\beta +1}}=n\pi (1-\pi )[1+(n-1)\rho ]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991ce686abc74a57c81097ad07c2b8eca60b5178)
其中
是 n 個伯努利變量的關聯繫數,稱為散布係數。
參考來源[編輯]
外部連結[編輯]