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阿达马伽玛函数

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阿达马伽玛函数
一般Γ函数与阿达马Γ函数
Γ函数(蓝色)、阿达马Γ函数(橘色),其值在正整数时相同

数学中,阿达马伽玛函数阿达马的伽玛函数(Hadamard's gamma function)是除了伽玛函数之外的另一种阶乘的扩展定义方式,以雅克·阿达马命名。此函数可以视为将阶乘的参数向左平移1,并且在阶乘的非整数部分插值,但是有别于欧拉伽玛函数将阶乘扩展到实数和复数的定义。阿达马的伽玛函数的定义为:

其中,Γ(x)是一般的伽玛函数。若n正整数,则其函数与伽玛函数和减一的阶乘相等:

性质

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阿达马伽玛函数与一般伽玛函数不同,阿达马伽玛函数没有奇点,是一个完全连续的函数,并且满足下面等式:

其中趋近正整数时趋近为0。

阿达马伽玛函数 一般伽玛函数
复变函数图形
阿达马伽玛函数与一般伽玛函数的关系

由左至右分别为两函数的差、两函数之差的自然对数、两函数之差的绝对值以及两函数之比。

绝对值越小颜色越深,红色是正实数、水蓝色是负实数

可以看到在正整数的上两函数相等。

其他表示法

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阿达马伽玛函数可以用双伽玛函数表示:

其中,ψ(x)表示双伽玛函数

参考文献

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  1. Hadamard, M. J., Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière (PDF), OEuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968, 1894 [2018-11-25], (原始内容存档 (PDF)于2021-02-25) (法语) 
  2. Srivastava, H. M.; Junesang, Choi. Zeta and Q-Zeta Functions and Associated Series and Integrals. Elsevier insights. 2012: 124. ISBN 0123852188. 
  3. Introduction to the Gamma Function. The Wolfram Functions Site. Wolfram Research, Inc. [27 February 2016]. (原始内容存档于2021-05-07).