环索线

环索线（strophoid）是几何学中的一种曲线，由给定曲线C、点A（固定点）及点O（极点），依以下方式产生：令L是通过O，和曲线C的交点为K的变动直线。令P₁和P₂是直线L上的两点，这两点和K的距离和A到K的距离相同（因此A、P₁、P₂在圆心为O为圆上）。P₁、P₂的轨迹即为曲线C的环索线，相对于极点O及固定点A。其中AP₁和AP₂会呈直角。

若C是直线，A在C上，而O不在C上，此曲线称为斜环索线（oblique strophoid）。若OA和C垂直，此曲线则称为正环索线（right strophoid），正环索线也称为logocyclic curve或叶状线（foliate）。

方程式[编辑]

极坐标[编辑]

令曲线C的极坐标方程为 $r=f(\theta )$ ，其中原点为O，令A的直角坐标为(a, b)，若 $K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )$ 是曲线上的一点，K到A的距离为

d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}

.

在OK线上的点，其极座标角度为 $\theta$ ，线上和点K距离为d的点，和原点的距离为 $f(\theta )\pm d$ 。因此，环索线的方程如下

r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}

另一种极座标公式[编辑]

若C是极点为O和A的麦克劳林分角线（英语：sectrix of Maclaurin）时，可以用以下的极座标公式。

令O为原点，A为点(a, 0)，令K为曲线上一点，线OK和X轴的夹角为 $\theta$ ，而 $\vartheta$ 是线AK和和X轴的夹角。假设 $\vartheta$ 可以表示为 $\theta$ 的函数，假设 $\vartheta =l(\theta )$ 。令 $\psi$ 是K的角度，则 $\psi =\vartheta -\theta$ 。可以用正弦定律，将r用l来表示。因为

{r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}

。

令P₁和P₂是OK线上和K点的距离等于AK的点，调整编号使 $\psi =\angle P_{1}KA$ ，且 $\pi -\psi =\angle AKP_{2}$ 。 $\triangle P_{1}KA$ 是顶角为 $\psi$ 的等腰三角形，剩下的两角 $\angle AP_{1}K$ 和 $\angle KAP_{1}$ 角度为 $(\pi -\psi )/2$ 。AP₁线和x轴角度为

l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2

。

同理可得AP₂和x轴的角度为

l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2

.

环索线的极座标式可以表示以下有l₁及l₂的式子：

r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}

r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}

若l是 $q\theta +\theta _{0}$ ，曲线C是极点为O和A的麦克劳林分角线，此时，l₁和l₂会有相同的型式，因此环索线可以是另一个麦克劳林分角线，或是一对这类的曲线。若原点往右移a的位置，也会有较简单的极座标方程。

特例[编辑]

斜环索线[编辑]

令C是通过A点的直线。依照上式的表示法， $l(\theta )=\alpha$ ，其中 $\alpha$ 为常数，则 $l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2$ 且 $l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2$ 。相对原点O点环索线的极座标（斜环索线）方程为

r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}

以及

r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}

.

可以确定上式二式描述的是同一条直线。

将原点移到A点，用−a代替a，可得

r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}

,

旋转角度 $\alpha$ 后可得

r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}

.

在直角坐标系，调整常数的参数，可得

y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy

.

是三次曲线，在极座标下是有理函数，其叉点在(0, 0)，渐近线为直线y=b。

正环索线[编辑]

将 $\alpha =\pi /2$ 代入下式

r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}

可得

r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta )

.

此即为正环索线，对应直线C为y轴，A点为原点，O点为点(a,0)的情形。

笛卡尔坐标系方程为

y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x)

.

此曲线为笛卡儿叶形线^[1]，直线x = −a是二个分支的渐近线。此曲线还有二条渐近线，分别是复数平面上的

x\pm iy=-a

。

圆[编辑]

令圆C是通过O和A的圆，其中O为原点，A的座标为(a, 0)。依以上的表示法， $l(\theta )=\alpha +\theta$ ，其中 $\alpha$ 是常数。则 $l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2$ 以及 $l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2$ ，所得相对于圆O环索线（oblique strophoid）的极座标方程为