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消失矩

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消失矩(Vanishing Moments),在连续小波变换(Continuous Wavelet Transform),是一项非常重要的参数,用来检视母小波(Mother wavelet)是否为高频的函数。

Vanish moment 越高,经过内积后被滤掉的低频成分越多

在实务上,Vanish moment=5

由来

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在连续小波变换中,母小波有4个主要限制如下。

1. 有值区间必须是有限的(Compact Support):

母小波不能是一个无限长的函数。

2. 必须是实函数(Real) :

因为要处理的影像不会是复数信号,且为了方便计算。

3. 偶对称(Even Symmetric)或是奇对称(Odd Symmetric)

4. 消失矩越高越好:

这项是最难满足的一项。

5.

Admissibility Criterion 要存在才存在反小波转换

定义

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首先定义第 个动量( moment):


则我们说 个消失矩。

如何计算消失矩

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我们可以看到 不太好计算,尤其是 很大的时候。

此时,可以善用傅立叶转换来进行计算。

计算第0个动量

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首先,观察傅立叶转换的公式:


当令时,可以看到以上公式变成:


正是第0个动量

因此,若要计算 的第0个动量,可以先计算 的傅立叶转换,再取直流项(也就是 )。

计算第k个动量

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我们可以同样利用傅立叶转换来计算第 个动量。

首先,傅立叶转换有一个性质: 在频域微分 次,就相当于时域乘上  :


当令时,可以看到以上公式变成:


正是第 个动量

因此,若要计算 的第k个动量,可以先计算 的傅立叶转换的k次微分,再取直流项(也就是 )。

一些常用函数的消失矩

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分成两类连续函数连续函数的离散系数

  • 连续函数:哈尔基底、墨西哥帽函数
  • 连续函数的离散系数:多贝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet

连续函数

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哈尔小波转换是最简单的一种小波转换,使用哈尔基底(Haar Basis)来做母小波。

而墨西哥帽函数(Mexican hat function)也常被用来当母小波。

哈尔基底

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哈尔基底的数学表示式如下:


是一个奇函数,所以


是偶函数,所以


因此,哈尔基底消失矩为1

墨西哥帽函数

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墨西哥帽函数的数学表示式:


仔细观察, 其实是高斯函数的二次微分:

 常數。 

而高斯函数做傅立叶转换仍是高斯函数:

利用


可以算出

所以墨西哥帽函数消失矩为2

高斯函数的p次微分

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墨西哥帽函数是高斯函数的二次微分,所以消失矩为2。


其傅立叶转换为

利用


可以算出

所以高斯函数p次微分消失矩为p


连续函数的离散系数

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多贝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet都是一些常用的离散小波,而且都是由连续小波的离散系数推导而来。

且这三种都是orthonormal filters

多贝西小波

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 點的多貝西小波,消失矩 

Symlet

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 點的Symlet,消失矩 

Coiflet

 點的Coiflet,消失矩 

三者的比较

  1. Symlet和多贝西小波非常类似,但是比多贝西小波还要对称。
  2. Coiflet 在scaling function 存在 vanish moment.

消失矩对于函数的意义

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消失矩是用以判断一个函数如何递减的指标。举例来说,对于函数


当输入值逐渐往无限大增加时,此函数会以的速率递减。 我们可用利用定义中的动量积分式来评估此函数的递减速率。

回到此范例中的函数,当时,由于分子会在之间震荡,使得整个函数在震荡。

此性质使得时,

 

函数积分式必定会收敛于0,代表第0个动量

时,


因此第1个动量

对于的情况,动量积分式均会随著而发散。

由以上的范例,我们可借由能够让动量积分式收敛为0的最大值来判断函数的递减速率,而此最大值便是函数的消失矩。

在连续小波转换中,设计母小波的其中一个条件是有值区间比须是有限的,而母小波在有值区间内如何递减的特性,则可由消失矩来描述。

消失矩的等价叙述

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依照定义,小波母函数 个消失矩的条件为


然而由于此定义中包含了一个无限范围的连续积分,因此在设计小波母函数上并不实用。

若定义小波转换中的尺度函数为,当以下小波母函数和尺度函数的关系成立时,



下列四项叙述便是等价的:

1. 小波母函数个消失矩。

2. 的傅立叶转换,以及前次微分在处均为零。

3. 的傅立叶转换,以及前次微分在处均为零。

4. 对于 区间内的任意

是最高次方为 的多项式函数。

消失矩与小波函数的设计

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当滤波器的傅立叶转换满足以下的条件时,


此滤波器满足共轭镜像滤波器的条件。其中代表离散低通滤波器离散低通滤波器的傅立叶转换。

结合共轭镜像滤波器的条件与消失矩的第3个等价叙述,我们可以将低通滤波器表示为


其中为一多项式函数。

利用上述条件与消失矩的等价叙述,可以简化设计小波函数的步骤。

消失矩与滤波器长度

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在小波转换中,尺度函数和小波母函数可利用离散滤波器来定义:



其中为离散低通滤波器,则为离散高通滤波器,通常会利用支撑大小(Size of support)来表示滤波器的长度。

从上述的表示式可得知,

当我们选择较高的消失矩时,将会是具有较高次方的多项式函数,因此对应到的便有较长的滤波器长度。

一般而言,拥有较高的消失矩与较短的滤波器长度是一个交换条件的关系,无法两者同时满足。

因此在设计连续小波转换中的小波母函数时,除了消失矩外,也应当把所对应到的滤波器长度考虑进去。

参考文献

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