在范畴论中,正规态射是一类可以自然地分解成单射与满射的态射。使所有态射皆为正规态射的范畴称为正规范畴。
设
为一个有有限射影极限与归纳极限的范畴。设
为态射。设
为积的投影,而
为上积的内射。定义:
- 上像:
![{\displaystyle \mathrm {Coim} (f):=\mathrm {Coker} (p_{1},p_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f5c37d0085dff7e12821621caafa5ba4115d39)
- 像:
![{\displaystyle \mathrm {Im} (f):=\mathrm {Ker} (i_{1},i_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b330c38d6c4ab8e1a125178da9d67336dff0a688)
根据极限性质,自然态射
是满射,而
则是单射。此外还存在唯一一个态射
,使得合成态射
![{\displaystyle X\longrightarrow \mathrm {Coim} (f){\stackrel {u}{\longrightarrow }}\mathrm {Im} (f)\longrightarrow Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779777747420e3d84fa3cb625ffee93d8cff8f68)
正好是
。
若
为同构,则称
为正规态射;正规态射可以写成满射与单射的合成。所有态射皆为正规态射的范畴称为正规范畴。
- 以下三个条件等价:
为严格满射
为同构
- 序列
正合
- 如果
同时是严格满射与严格单射,则
为同构。
恒为严格满射。
正规态射的重要特性在于它分解为满射与单射,此分解在阿贝尔范畴中扮演关键角色。
对于集合范畴、群范畴以及一个环上的模范畴,严格性并不成问题。一旦引入额外结构,状况将大大地复杂化:例如取
为拓扑向量空间范畴,
中存在所有有限的积与上积。
中的态射
即连续线性映射,其像
是空间
配与
的子空间拓扑,上像
则是
配与
的商拓扑;后者一般较前者为细。
- Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490
外部链接[编辑]