有限应变理论

有限应变理论（finite strain theory）也称为大应变理论或大形变理论，是连续介质力学中处理有较大应变或转动的形变，已不符合无限小应变理论假设下的理论。此情形下，物体在未形变的组态及已形变的组态有明显的不同。有限应变理论常用于弹性体、塑性变形材料、流体及生物软组织。

位移场

这个部分摘自：位移场 § 位移分量[编辑]

连续体的运动

物体的位移可以分为二个分量：刚体位移以及形变。

• 刚体位移包括物体的平移或旋转，物体的形状、大小都维持不变。
• 形变表示物体形状或大小的变化，从未形变的组态$\kappa _{0}({\mathcal {B}})$变成形变后的组态$\kappa _{t}({\mathcal {B}})$。

连续体组态的变化可以用位移场来描述。位移场是物体中所有点的位移向量组合成的场，可以找到形变后组态和形变前组态之间的关系。物体中二点之间的距离改变，若且唯若物体出现形变。若物体有位移，但没有形变，即为刚体运动。

位移梯度张量

连续体的形变

位移梯度张量（deformation gradient tensor）$\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}$和形变前的组态以及目前的组态有关，可以从单位向量$\mathbf {e} _{j}$和$\mathbf {I} _{K}\,\!$中看出，因此其为二点张量。

可以定义二种位移梯度张量。

假设$\chi (\mathbf {X} ,t)\,\!$有连续性，则$\mathbf {F}$存在逆元素$\mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}\,\!$，其中$\mathbf {H}$为空间位移梯度张量（spatial deformation gradient tensor）。 根据隐函数定理，其雅可比判别式$J(\mathbf {X} ,t)$是非奇点，也就是$J(\mathbf {X} ,t)=\det \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\neq 0$。

物质位移梯度张量（material deformation gradient tensor）$\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}$表示映射函数或是泛函关系$\chi (\mathbf {X} ,t)\,\!$梯度的二维张量（ 映射函数或是泛函关系$\chi (\mathbf {X} ,t)\,\!$描述连续介质的运动）。材料位移梯度张量可以说明位置向量为$\mathbf {X} \,\!$的物质点的局部形变（也就是相对邻近点的形变），其作法是对一个点的物质线元素进行线性映射，从原始组态映射到形变后的组态，其中也是假设映射函数$\chi (\mathbf {X} ,t)\,\!$的连续性，也就是其为$\mathbf {X}$和时间$t\,\!$的可微函数，也就是其形变不会让crack或是void打开或是关闭。因此可得

$${\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned}}$$

相关条目

• 无限小应变理论
• 应变协调性
• 曲线坐标
• 应力量测
• 应变分区

外部链接

• Prof. Amit Acharya's notes on compatibility on iMechanica （页面存档备份，存于互联网档案馆）