戴德金η函数(Dedekind eta function)是定义在上半平面的全纯函数,这是权1/2的模形式之一例。
η函数的描绘
对每个属于上半平面的复数
,置
,则η函数表为
![{\displaystyle \eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc52854f500341c9a3834acad1ee342f6d8b121)
η函数满足以下函数方程:
![{\displaystyle \eta (\tau +1)=\exp({\frac {2\pi i}{24}})\eta (\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2201c0d14f908901afcec6770cfe9f3649625be2)
![{\displaystyle \eta (-1/\tau )={\sqrt {\frac {\tau }{i}}}\eta (\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26681fe0833414cbe2eaf7a3347c79c40f71d6b4)
此处的根号是方根函数在右半平面的解析延拓
。
一般而言,对
,我们有
![{\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)\left(-i(c\tau +d)\right)^{1/2}\eta (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ee3b5d1643d8cc37fed279207a5b3e4c25b8cf)
其中的自守因子
定为
。
而
为戴德金和
![{\displaystyle s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39780254e2602f39e88220d4452dbdfe9c0ad20c)
由此函数方程可知η是权1/2的模形式,因此可由η构造更多的模形式,例如魏尔施特拉斯的模判别式即可表为
。
事实上,由函数方程可知
是权12的模形式,而这类模形式构成复一维向量空间,比较傅里叶展开的常数项,上式立可得证。
拉马努金有一个著名的猜想:在傅立叶展开式中,对任一素数,的系数的绝对值恒。此猜想最后由德利涅证明。
上述诸例点出了模形式与若干古典数论问题的联系,例如以二次型表示整数以及整数分拆问题。赫克算子(英语:Hecke operator)理论阐释了模形式与数论的关键联系,同时也联系了模形式与表示理论。
- Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
外部链接[编辑]
- 王淑红,邓明立. 戴德金对理想论的贡献. 河北师范大学数学与信息科学学院. [2018-12-29]. (原始内容存档于2021-10-04) (中文(中国大陆)).