在数学的分支概率论和算子代数中,非交换概率空间是对经典概率空间、尤其是经典概率论的随机变量代数表述的推广。一般的非交换概率空间也称代数非交换概率空间[1],其定义为一个有单位元的代数
,其上配备有一个保单位元的线性泛函
。
中元素可视为是非交换版本的随机变量,而
则计算各随机变量的期望。出于各种实际目的,代数非交换概率空间定义中的要求往往需要加强,从而引出§ 非交换*-概率空间等概念。
非交换概率空间是非交换概率论的基本数学结构,非交换概率论可应用在谱理论、随机矩阵和量子力学中。[2]
随机变量代数与期望[编辑]
测度论表述中的概率论是基于所谓概率空间
,即一个总测度为一的(正)测度空间。所谓随机变量即是其上的实值可测函数,而随机变量的期望则是其勒贝格积分。
现在考虑全体本质有界的随机变量,它们构成了一个
上的代数,这里简单记作
。在这个代数上,期望映射
是唯一能满足
且给出单调收敛性质的线性映射,其中
表示
的指示函数。反过来,若具有单调收敛性质的非负线性映射
满足
(其中
是值为一的常函数,即
上的乘法单位元),则可用
一式唯一地定义一个概率测度。在这个意义上,随机变量代数的期望映射和概率空间的概率测度是一一对应的。借助单调类定理,还可建立在单调收敛下封闭的
上的有界函数代数与
的一一对应。[3]
对事件空间地位的降低,以及对代数性质的强调,使得概率论可以有较明显的推广方案,来兼容非交换的随机变量。
量子概率与*-代数[编辑]
分析性质[编辑]
非交换概率空间[编辑]
是一代数非交换概率空间,若
是
上的一个有单位元
的代数,
是
上一个满足
的线性泛函。一些作者也考虑代数无单位元的情况[4]。
非交换*-概率空间[编辑]
是一非交换*-概率空间,若
是一个代数非交换概率空间,且满足:
是一个*-代数;
是一个正映射,也就是说
中的正元总是被映为非负实数,或者等价地说![{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \phi (a^{*}a)\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce2364de2688343c650225cfb39d1aa43a44375)
这个条件结合
意味着
是一个态。
非交换C*-概率空间[编辑]
是一非交换C*-概率空间,若
是一个非交换*-概率空间,且满足:
是一个C*-代数;
- 态
是非退化的,也就是说 ![{\displaystyle \|a\|_{\infty }=0\implies a=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288644f99f7e648ffac5f97bfb07e321baaa3b0d)
上面的
是一个
诱导的半范数,定义为
![{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \|a\|_{\infty }=\sup\{\|ax\|_{2}|x\in {\mathcal {A}}\land \|x\|_{2}\leq 1\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90cf81f150792e7e4b5ce7b424be0e356925005f)
形式上它类似于左乘映射
![{\displaystyle x\mapsto ax}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bca6dfd2089f8884a4cdef73f987cb757062b7a2)
的
算子范数。一些作者不要求
![{\displaystyle \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4)
为非退化的,因为总是可
商去满足
![{\displaystyle \|a\|_{\infty }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7280c94a9037f3f71b2af6f49edc4204cdf62b9)
的元素所构成的
*-理想使其成为非退化的
[5]。
非交换W*-概率空间[编辑]
是一非交换W*-概率空间,若
是一个非交换C*-概率空间,且满足:
是一个W*-代数;
- 态
是正规的。或者等价地说,
是超弱连续的。
值得一提的是,即便在非交换概率空间的定义中解除对有单位元的要求,如此定义的非交换W*-概率空间也必然有单位元。
参考文献[编辑]
文内引注[编辑]