极点 (复分析)

伽玛函数的绝对值。从左面可以看出，在极点处函数的值趋于无穷大。而在图像的右面，则没有极点。

亚纯函数的极点是一种特殊的奇点，它的表现如同$z-a=0$时${\frac {1}{(z-a)^{n}}}$的奇点。也就是说，如果当$z\to a$时，函数$f(z)\to \infty$，那么$f(z)$在$z=a$处便具有极点。

定义

假设$U$ 是复平面$\mathbb {C}$的开子集，$a$是$U$的一个元素，$f:U-\{a\}\to \mathbb {C}$是一个在定义域内全纯的函数。如果存在一个全纯函数$g:U\to \mathbb {C}$和一个非负整数$n$，使得对于所有$U-\{a\}$内的$z$，都有

$f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}$

那么$a$便称为$f$的极点。满足以上条件的最小整数$n$称为极点的阶。一阶的极点又称为简单极点。

性质

1.函数f在极点a的极限值是$\infty$.也就是说

$\lim _{z\rightarrow a}f(z)=\infty$

2.由性质1.可知,如果令函数

$h(z)={\frac {1}{f(z)}}$

那么代入定义可知：

$h(z)=(z-a)^{m}{\frac {1}{g(z)}}$

其中${\frac {1}{g(z)}}$在$z=a$点解析。那么有$z=a$是$h(z)$的m阶零点。

3.由于$g$是全纯函数，$f$可以表示为：

$f(z)={\frac {a_{-n}}{(z-a)^{n}}}+\cdots +{\frac {a_{-1}}{(z-a)}}+\sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}.$

这是一个洛朗级数，它的主部分是有限的。全纯函数$\sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}$称为$f$的正则部分。因此，点$a$是$f$的$n$阶极点，当且仅当$f$在$a$处的罗朗级数中所有低于$-n$的次数都为零，而$-n$次项不为零。

评论

如果函数$f$的一阶导数在$a$处具有简单极点，则$a$是$f$的一个分支点，但反过来不成立。

一个既不是极点又不是分支点的非可去奇点称为本性奇点。

除了一些孤立奇点外全纯的函数，且所有的奇点均为极点，则该函数称为亚纯函数。

参见

• 零点
• 留数

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Pole. MathWorld. 
• 零点和极点的教程