对偶小波

在数学上，一个对偶小波（英语：dual wavelet）为小波的对偶。一般情形下，在里斯表示定理(Riesz representation theorem)中，由平方可积函数(square integral function)产生的小波级数(wavelet series)具有对偶级数。然而，对偶级数一般并不是由平方可积函数本身表示。

定义

给一个平方可积函数 $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ , 定义级数 $\{\psi _{jk}\}$ 由

\psi _{jk}(x)=2^{j/2}\psi (2^{j}x-k)

给整数 $j,k\in \mathbb {Z}$ .

这种函数称为R函数(R-function)，假如 $\{\psi _{jk}\}$ 的线性展延在 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 上,且假如存在一个正的常数A, B，其中 $0<A\leq B<\infty$ 如下式

A\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\leq {\bigg \Vert }\sum _{jk=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}{\bigg \Vert }_{L^{2}}^{2}\leq B\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\,

对于所有双无限平方累加(bi-infinite square summable)级数 $\{c_{jk}\}$ . 在这里, $\Vert \cdot \Vert _{l^{2}}$ 代表平方和范数:

\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}=\sum _{jk=-\infty }^{\infty }\vert c_{jk}\vert ^{2}

而 $\Vert \cdot \Vert _{L^{2}}$ 代表在 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 的通常范数(usual norm):

\Vert f\Vert _{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f(x)\vert ^{2}dx

由里斯表示定理(Riesz representation theorem)，存在一个独特的对偶基底(dual basis) $\psi ^{jk}$ 如下式

\langle \psi ^{jk}\vert \psi _{lm}\rangle =\delta _{jl}\delta _{km}

$\delta _{jk}$ 为克罗内克函数(Kronecker delta)，而 $\langle f\vert g\rangle$ 为在 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 的内积(inner produce)。确实，这里存在一个对于平方可积函数 f 表示基底的特殊级数表示:

f(x)=\sum _{jk}\langle \psi ^{jk}\vert f\rangle \psi _{jk}(x)

假如这里存在一个函数 ${\tilde {\psi }}\in L^{2}(\mathbb {R} )$ 如下式

{\tilde {\psi }}_{jk}=\psi ^{jk}

${\tilde {\psi }}$ 称为对偶小波(dual wavelet)或是小波对偶至ψ(wavelet dual to ψ). 一般来说，对于一些R函数(R-function)ψ,对偶不一定存在。在特别情况 $\psi ={\tilde {\psi }}$ 中,这个小波称为正交小波(orthogonal wavelet)。