在数学上,一个对偶小波(英语:dual wavelet)为小波的对偶。一般情形下,在里斯表示定理(Riesz representation theorem)中,由平方可积函数(square integral function)产生的小波级数(wavelet series)具有对偶级数。然而,
对偶级数一般并不是由平方可积函数本身表示。
给一个平方可积函数
, 定义级数
由
![{\displaystyle \psi _{jk}(x)=2^{j/2}\psi (2^{j}x-k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66be4803b87ea78a1d26e68b89e25aec138e29d7)
给整数
.
这种函数称为R函数(R-function),假如
的线性展延在
上,且假如存在一个正的常数A, B,其中
如下式
![{\displaystyle A\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\leq {\bigg \Vert }\sum _{jk=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}{\bigg \Vert }_{L^{2}}^{2}\leq B\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9d11895f9fffb3c9c7b80a44a726ab357cc89b)
对于所有双无限平方累加(bi-infinite square summable)级数
. 在这里,
代表平方和范数:
![{\displaystyle \Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}=\sum _{jk=-\infty }^{\infty }\vert c_{jk}\vert ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/011b1ff2eca93b9197b102c7c963eccdaca45080)
而
代表在
的通常范数(usual norm):
![{\displaystyle \Vert f\Vert _{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f(x)\vert ^{2}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9387bb8435456fbd8ed95342f155e10e3679ab7)
由里斯表示定理(Riesz representation theorem),存在一个独特的对偶基底(dual basis)
如下式
![{\displaystyle \langle \psi ^{jk}\vert \psi _{lm}\rangle =\delta _{jl}\delta _{km}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa2b6aa4d8066c2f3c9b477c5f7b598bc226005)
为克罗内克函数(Kronecker delta),而
为在
的内积(inner produce)。确实,这里存在一个对于平方可积函数 f 表示基底的特殊级数表示:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{jk}\langle \psi ^{jk}\vert f\rangle \psi _{jk}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f29cbbcd93673ba9aa7b690abd22dde065bb11b9)
假如这里存在一个函数
如下式
![{\displaystyle {\tilde {\psi }}_{jk}=\psi ^{jk}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00eb6a0bd5203e0e64369ec704e307410b5fc4b)
称为对偶小波(dual wavelet)或是小波对偶至ψ(wavelet dual to ψ). 一般来说,对于一些R函数(R-function)ψ,对偶不一定存在。在特别情况
中,这个小波称为正交小波(orthogonal wavelet)。
要举一个没有对偶的R函数(R-function)很简单。让
为一个正交小波。然后定义
,z 为复数.如此一来可以很简单的表明 ψ 没有对偶小波。
其他相关[编辑]
- Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets (Wavelet Analysis & Its Applications), (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-12-174584-8