夹挤定理

夹挤定理（英语：Squeeze theorem），又称夹逼定理、夹极限定理、三明治定理、逼近定理、迫敛定理，是有关函数的极限的数学定理。指出若有两个函数在某点的极限相同，且有第三个函数的值在这两个函数之间，则第三个函数在该点的极限也相同。

定义

设$I$为包含某点$a$的区间，$f,g,h$为定义在$I$上的函数。若对于所有属于$I$而不等于$a$的$x$，有：

• $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$
• $\lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L$

则$\lim _{x\to a}f(x)=L$。

$g(x)$和$h(x)$分别称为$f(x)$的下界和上界。

$a$若在$I$的端点，上面的极限是左极限或右极限。 对于$x\to \infty$，这个定理还是可用的。

例子

有关正弦函数的极限

对于 $\lim _{x\to 0}x^{2}\sin {\frac {1}{x}}$，

在任何包含0的区间上，除了$x=0$，$f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x}}$均有定义。

对于实数值，正弦函数的绝对值不大于1，因此$f(x)$的绝对值也不大于$x^{2}$。设$g(x)=-x^{2}$, $h(x)=x^{2}$：

$-1\leq \sin {\frac {1}{x}}\leq 1$

$-x^{2}\leq x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\leq x^{2}$

$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$

$\lim _{x\to 0}\ g(x)=\lim _{x\to 0}\ h(x)=0$，根据夹挤定理

$\lim _{x\to 0}f(x)=0$。

对于 $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}$，

首先用几何方法证明：若$0<x<{\frac {\pi }{2}}$，$\cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1$。

称(1,0)为D。A是单位圆圆周右上部分的一点。$C$在$OD$上，使得$AC$垂直$OD$。过$A$作单位圆的切线，与$OD$的延长线交于$E$。

由定义可得$x=\angle AOD=arcAD$，$\tan x=AE$。

$AC<AD<arcAD$

$\sin x<x$

${\frac {\sin x}{x}}<1$

$arcAD<AE$

$x<\tan x$

$\cos x<{\frac {\sin x}{x}}$

因为$\lim _{x\to 0^{+}}\cos x=1$，根据夹挤定理

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\sin x}{x}}=1$。

另一边的极限可用这个结果求出。

高斯函数

高斯函数的积分的应用包括连续傅立叶变换和正交化。 一般高斯函数的积分是$I(a)=\int _{0}^{a}e^{-x^{2}}\,dx$，现在要求的是$I(\infty )=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx$。

被积函数对于y轴是对称的，因此$I(\infty )$是被积函数对于所有实数的积分的一半。

$(2I)^{2}=\left[2\int _{0}^{a}e^{-x^{2}}dx\right]^{2}=\left[\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx\right]^{2}=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy$

这个二重积分在一个$(-a,-a),(-a,a),(a,-a),(a,a)$的正方形内。它比其内切圆大，比外接圆小。这些可用极坐标表示：

$\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta \leq (2I)^{2}\leq \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta$

$\pi (1-e^{-a^{2}})\leq (2I)^{2}\leq \pi (1-e^{-2a^{2}})$

$\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-a^{2}}\right)=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-2a^{2}}\right)=\pi \vdash [2I(\infty )]^{2}=\pi$

$\lim _{a\to \infty }(2I)^{2}=\pi$

$I(\infty )={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$

证明

极限为0的情况

若$\forall x\in \mathbb {R}$，$g(x)=0$，而且$\lim _{x\to a}h(x)=0$。

设$\varepsilon >0$，根据函数的极限的定义，存在$\delta >0$使得：若$0<|x-a|<\delta$，则$|h(x)|<\varepsilon$。

由于 $0=g(x)\leq f(x)\leq h(x)$，故$|f(x)|\leq |h(x)|$。

若 $0<|x-a|<\delta$，则$|f(x)|\leq |h(x)|<\varepsilon$。于是，$\lim _{x\to a}f(x)=0$。

一般情况

$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$

$0\leq f(x)-g(x)\leq h(x)-g(x)$

当$x\to a$：

$h(x)-g(x)\to L-L=0$

根据上面已证的特殊情况，可知$f(x)-g(x)\to 0$。

$f(x)=[f(x)-g(x)]+g(x)\to 0+L=L$。