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什么逻辑可以形式化全部的集合论和几乎所有的数学？（推荐，user:Mhss创作，18,425 bytes ）--木木 12:29 2007年3月29日 (UTC)
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"某些旧的书籍和论文使用符号φ ⊃ ψ表示φ → ψ，" 这句话是不是反了，应该是符号φ ⊃ ψ表示ψ → φ ？THorse（留言） 2012年4月4日 (三) 15:39 (UTC)

请指教 THorse（留言） 2012年4月4日 (三) 15:39 (UTC)[回复]

我把它改掉了。你問的問題現在在「語法->詞彙表->邏輯符號」裡。這應該是在很久以前符號還沒統一的事情，⊃也不是現在常見的「包含」的意思，而只是個符號。--嗡嗡（留言） 2012年4月8日 (日) 09:57 (UTC)[回复]

看不懂

看不懂--維基小霸王（留言） 2013年10月1日 (二) 15:24 (UTC)[回复]

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各位维基人：

我刚刚修改了一阶逻辑中的1个外部链接，请大家仔细检查我的编辑。如果您有疑问，或者需要让机器人忽略某个链接甚至整个页面，请访问这个简单的FAQ获取更多信息。我进行了以下修改：

向 http://goedel.cs.uiowa.edu/smtlib/ 中加入存档链接 https://web.archive.org/web/20120314230848/http://goedel.cs.uiowa.edu/smtlib/

有关机器人修正错误的详情请参阅FAQ。

祝编安。—InternetArchiveBot (報告軟件缺陷) 2017年9月6日 (三) 20:58 (UTC)[回复]

關於無法刻劃實數系的問題

您好HTinC23，數學上可以構造出的實數系本來就不是唯一的，可以參考

https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers

但是可以證明它們"計算上一對一的對應"，關於這點請參考

https://math.stackexchange.com/questions/269353/isomorphism-of-dedekind-complete-ordered-fields

所以實用上也不成甚麼大問題。我反倒認為"不能刻畫"這個模糊的描述會引起誤解。

問題最大一點是你認為least upper bound性質無法以一階邏輯敘述是完全有誤的，因為

(s\subseteq \mathbb {R} )\wedge (u\in \mathbb {R} )\wedge (\forall x\in s)(u\geq x)\wedge (\forall y\in \mathbb {R} )[(y<u)\Rightarrow (\exists z\in s)(z>y)]

就已經是 $u$ 為 $s$ 的最小上界的定義了，合理性基於

x\in \mathbb {R} ,\,y\in \mathbb {R} \vdash \neg (x\geq y)\Leftrightarrow (y>x)

上面用了一些簡寫的符號定義如下(若 $T$ 、 $S$ 為項)

(\forall x\in T){\mathcal {A}}:=\forall x[(x\in T)\Rightarrow {\mathcal {A}}]

(\exists x\in T){\mathcal {A}}:=\exists x[(x\in T)\wedge {\mathcal {A}}]

(S\geq T):=[(S=T)\vee (S>T)]

以上關於量詞的簡寫定義的合理性可以參見敝人的筆記

https://hackmd.io/-fn8kvl3QDKoNti85vqB9A?view#%E9%87%8F%E8%A9%9E%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E7%9A%84%E7%B0%A1%E5%8C%96

另外二階邏輯在語義上是有缺陷的，請參考 Introduction to Mathematical Logic關於二階邏輯的附錄A的後半段提到二階邏輯是不完備的(standardly valid不等同於"可證明")。作者也有提到這大概就是為何大部分數學家不採用二階邏輯的原因。

註:大於小於不必然要視為斷言符號。它可由皮亞諾公理的大於小於，沿著實數的建構過程一路延伸出來。而皮亞諾的(m>n)又是從「存在a≠0使m=n+a」定義來的。當然你也可以"強迫"把實數系視為一個帶集合論公理的獨立系統，但我們一樣可以用「存在實數r≠0使m=n+r」去定義(m>n)。

謝謝您!--C44986054（留言） 2021年11月14日 (日) 18:19 (UTC)[回复]

@C44986054：實數域的（高階邏輯）的不同構造之間有"計算上一對一的對應"（同構）是對的，即dedekind complete ordered fields的（高階）理論有（同構意義下唯一）的模型，但並無類似的一階理論，因為任何一階邏輯理論，若描述實數系，則亦有其他與實數系不同構的一階模型，例如用超積構造的超實數系便是滿足完全一樣的一階理論，但與實數系不同構，亦即沒有「計算上一對一的對應」。
閣下對least upper bound性質的寫法，第一句若 $s\subseteq \mathbb {R}$ 已不合式，因為所考慮的實數的理論（theory of dedekind complete ordered fields）中，標識是四則運算 $+,-,\times ,\cdot ^{-1}$ 和大小序 $<$ （如閣下所言，可有可無，不影響），但沒有 $\subseteq$ ，而且變數取值只能是模型的元素而非子集，即一階版本的theory of dedekind complete ordered fields中無法寫下「對任意子集 $s$ ，⋯⋯」。如果討論的是集合論宇宙的一階理論，才可以寫 $(\forall s\subseteq t)p(s)$ （作為 $(\forall s)(s\subseteq t\implies p(s))$ 的簡寫），因為此時量化的 $s$ 是論域（集合論宇宙）的元素，即集合。對於實數系的理論，量化的 $s$ 只能是論域（某dedekind complete ordered field）的元素，不是其子集。
「least upper bound性質無法以一階邏輯敘述」一句，並非在下獨創，見於許多邏輯教科書/講義，如Johnstone, P. T. Notes on logic and set theory. Cambridge University Press. 1987. doi:10.1017/CBO9781139172066. 第30頁（原文：the axioms for a (Dedekind) complete ordered field categorize the real line $\mathbb {R}$ . The problem is that the Dedekind completeness axiom $(\forall S\subseteq \mathbb {R} )(S\neq \varnothing {\text{ and }}S{\text{ has an upper bound}})\implies (S{\text{ has a least upper bound}}))$ involves a quantification over subsets of $\mathbb {R}$ ; once again, we can replace it by a scheme of first-order axioms in the language of ordered rings (i.e. the language of rings with an additional binary predicate $\leq$ ), but there are only countably many such axioms and the resulting theory will have a countable model）。
這是有關一階邏輯的重要內容，英文條目亦置於導言（見其導言尾二段），應予保留。希望有澄清到閣下的疑問。——HTinC23（留言） 2021年11月14日 (日) 19:38 (UTC)[回复]
如需一階邏輯尤其Löwenheim–Skolem相關的簡短講義，在下推薦[1]第四章。——HTinC23（留言） 2021年11月14日 (日) 19:41 (UTC)[回复]
刻劃並非模糊描述，刻劃（characterise）即是給出充要條件，一個理論刻劃一個結構即該理論的模型必為該結構（同構意義下）。某理論不能刻劃可數性的意思是該理論無法控制其模型是否可數，即該理論有可數模型又有不可數模型。如果閣下認為此種更具體的寫法可以澄清文意，在下樂意加入條目。——HTinC23（留言） 2021年11月14日 (日) 19:45 (UTC)[回复]

您好HTinC23

戴德金分割本身是可以用一階邏輯(公理化集合論)敘述的觀念，並非一定為高階邏輯。原因乃從正整數到實數的建構，只需要集合論公理就足夠了。
包含本身是一階邏輯集合論的延伸符號(以下採用Introduction to Mathematical Logic第四章的定義)

x\subseteq y:=(\forall z)[(z\in x)\Rightarrow (z\in y)]

而集合論只需要屬於這個斷言就足以，詳見Introduction to Mathematical Logic第四章，另外我也將前面的包含敘述直接搬進定義了。這樣就不會有你說的問題了。

你第三點的引用教科書很可能是錯誤的內容。請參見

https://en.wikipedia.org/wiki/Skolem%27s_paradox

這一點Introduction to Mathematical Logic p.270的習題4.65也有說明(後面附錄有詳解XD)。

英文維基也有可能有錯。
即該理論有可數模型又有不可數模型這件事聽起來不是跟沒說一樣嗎。。。。

--C44986054（留言） 2021年11月14日 (日) 20:26 (UTC)[回复]

@C44986054：

在下認同包含是集合論（set theory，即theory of set theoretic universe）的延伸符號，可以寫，在下先前已認同這一點（「集合論宇宙的一階理論，才可以寫」）。
但包含不是實數系的理論（theory of dedekind complete ordered fields）的符號或延伸符號，因為該理論用的符號沒有 $\in$ 。前者set theory寫量化 $\forall x$ 時， $x$ 是set theoretic universe中的元素，即集合，而該理論的標識中，有 $\in$ 符號，可以寫 $x\in y$ ，但後者theory of dedekind complete ordered fields中，寫量化 $\forall x$ 時， $x$ 是dedekind complete ordered fields中的元素，在dedekind complete ordered fields中，沒有 $\in$ 符號，只有 $0,1,+,-,\times ,\bullet ^{-1},<$ 等，可以談論兩元素是否滿足 $x<y$ 但不能寫 $x\in y$ ，從而

(\forall z)[(z\in x)\Rightarrow (z\in y)]

在theory of dedekind complete ordered fields中是不合式的。

閣下可能誤解了「實數系的理論」的意思，這與如何在集合論宇宙中找出宇宙的一個元素作為實數系（即閣下的「建構」）無關。
「即該理論有可數模型又有不可數模型這件事聽起來不是跟沒說一樣嗎。。。。」如果聽仔細一點就會發現不是，例如「實數系的一階理論 $T$ 既有可數模型又有不可數模型」是很驚奇的一件事，因為 $T$ 的可數模型與實數系不同構，但該模型與實數系滿足的一階命題完全一樣。
en: Skolem's_paradox的內容與在下所言及書中內容皆無矛盾，事實上該條目與en: First-order_logic皆寫得不錯。——HTinC23（留言） 2021年11月14日 (日) 20:57 (UTC)（2021年11月14日 (日) 21:20 (UTC)修訂）[回复]
另想請教閣下讀的Introduction to Mathematical Logic作者為何？搜尋書名似乎有許多同名書，未能評論，不過想必不會與其他數理邏輯/模型論教科書有重大矛盾。——HTinC23（留言） 2021年11月14日 (日) 21:02 (UTC)[回复]

@HTinC23：我的參考用書是Elliott Mendelson的Introduction to Mathematical Logic。

我認為無須堅持theory of dedekind complete ordered fields，因為這個理論忽略了微積分論證上需要反覆使用集合的部分。另外很抱歉我一開始沒有說明我採用的是Elliott Mendelson書內介紹的馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論；這個集合論把 $x$ 解釋為類而非集合，和一般的ZF還是有不小的差異(雖然是ZF的保守擴展)。

你認為的無法刻劃之處，是來自於康托尔定理(我的書是在p.264引裡4.25)保證了可以從可數集合造出更大基數的集合(也就是冪集合)，似乎跟勒文海姆–斯科倫定理保證的存在一階邏輯的模型有可數論域矛盾。但4.65的習題解答說明這沒有矛盾。 --C44986054（留言） 2021年11月14日 (日) 21:37 (UTC)[回复]

@C44986054：在下說的無法刻劃之處並非康托尔定理，也無須堅持theory of dedekind complete ordered fields，可以換成任何一階理論如集合論。該無法刻劃之處是正是由勒文海姆–斯科倫定理保證，若某個一階理論有不可數模型，也必有可數模型。習題4.65是正確的，與在下所說無法刻劃之處也無矛盾。習題4.65正是該無法刻劃之處的一個方面，其提及一階理論（如NBG，若自恰）有可數模型。但同時NBG若自恰則也有不可數模型。所以說一階理論（如NBG）無法刻劃可數性。——HTinC23（留言） 2021年11月14日 (日) 23:06 (UTC)[回复]

Mendelson書中也有「一階理論無法刻劃實數系」的表述，雖然並未用到characterise一字。見2.14.1 Nonstandard Analysis p.136 "constructing models that are elementarily equivalent to, but not isomorphic to, the ordered field of real numbers." 初等等價即具有同樣的一階理論，所以該句正是說實數系的一階理論有與實數系不同構的其他模型，此即「一階理論無法刻劃實數系」之義。HTinC23（留言） 2021年11月14日 (日) 23:14 (UTC)[回复]
- 類似的還有習題3.6（p.169），要說明為何（高階）PA理論的模型同構之證明，對一階版本的PA不適用。理由當然是，「真的」數學歸納法原理要對子集量化（「對任意子集 $S$ ，若 $0\in S$ 且 $n\in S\implies n+1\in S$ ，則 $S$ 為全個論域」），在一階語言只能對元素量化而不能對子集量化，數學歸納法原理"cannot be formulated within the language of S"（Mendelson p.435題解），與在下此前所謂「（least upper bound性質）無法以一階邏輯敘述」意思一樣，僅是將該性質換成數學歸納法原理，此謂之「一階理論無法刻劃自然數的算術」。然後類推可以理解上面在下引述Johnstone的說話，為何（高階）theory of dedekind complete ordered fields的模型同構之證明，對一階版本的theory of dedekind complete ordered fields不適用，理由是在一階語言只能對元素量化而不能對子集量化（Johnstone所言），此之謂「一階理論無法刻劃實數系」。——HTinC23（留言） 2021年11月14日 (日) 23:38 (UTC)（2021年11月14日 (日) 23:53 (UTC)增補）[回复]

@HTinC23：您好

先聲明一下，勒文海姆–斯科倫定理最後僅要求只要是自洽一階理論都會有可數模型，詳見Mendelson的p.88。

剛剛才看懂Mendelson的習題想表達的是甚麼。首先勒文海姆–斯科倫定理嚴格來說是基於集合論來定義計數，所以既然說有論域是可數意為它和 $\omega$ 間存在一個一對一函數(注意函數本身是特殊的有序對集合)。而康托尔定理最原始的敘述是

\vdash x\prec 2^{x}

其中

x\cong y:=\exists f\{(f:x\to y)\wedge \forall a\forall b\forall c[((a,\,b)\in f\wedge (a,\,c)\in f)\Rightarrow (b=c)]\wedge \forall d\exists e[d\in x\Rightarrow (d,e)\in y]\}

x\prec y:=\neg (x\cong y)\wedge \exists z[(z\subseteq y)\wedge (x\cong z)]

$f:x\to y$ 的符號定義要講很多東西(類存在公理關於定義域跟置換的部分)，你可以自己去看。不過重點是在NBG集合論有可數論域 $D$ 的模型 $M$ 下，因為一節邏輯的完備性，我們會有

\models _{M}\neg (\omega \cong 2^{\omega })

如果取使公式 $x=2^{\omega }$ 為真的所有 $x$ 構成的集合為d，那會有 $\models _{M}\neg (\omega \cong d)$ ，也就是 $D$ 內找不到讓他們一對一對應的函數。但是取公式 $x\in d$ 為真的集合(語意解釋下的 $d$ )，因為是論域的子集，照計數的定裡應該也是可數或是有限啊!問題出在讓這個語意解釋下的 $d$ 和語意解釋下的 $\omega$ 一對一對應的那個"函數"，根據解釋並不在這個論域裡。(語意解釋下的 $d$ 為有限部分的那個"一對一對應"函數，因 $\exists z[(z\subseteq y)\wedge (x\cong z)]$ 的語意解釋而被保證在論域裡。)

也就是勒文海姆–斯科倫定理並沒有真的推出"不可數"與"可數"的矛盾。Johnstone 說觸及實數的理論裡，量詞不可以包括集合的理由就是基於這個"矛盾"(以下有提及以可數個項和公式去構造這個"病態論域"的部分)，但其實是我們對於計數的定義，讓這種"病態論域"無法正確的說明其語意解釋下的 $d$ 事實上為可數。有學者建議修改計數的定義，嘗試讓所有模型都可以正確的描述"可數"的觀念，但我個人是認為把這些病態的模型剃除掉就好。

你可以參考Mendelson p.86為了證明勒文海姆–斯科倫定理所預備的引理，是以塞跟自然數一樣多的公式為公理來證明；另外這個可數論域就是抓純粹由常數和函數符號組成的項為元素(沒錯!用項組成，詳細請參考lemma2.16如何建構解釋)，NBG到最後只有空集合跟空類是真正的常數，函數符號就是交集、連集、補集、冪集、定義域、值域和笛卡爾積之類的，照理來說是可以組裝出這個"一對一"的函數的(因為無限公理本意就是以空集合為基礎建立"正整數")。你可以想見這個可數論域是多麼的病態了。

至於Nonstandard Analysis 的那部分，Mendelson只是想告訴你羅賓遜造出來的"無窮小數"系無法跟實數系一對一，並非是在說明實數系的性質。

不要再堅持用一階版本的theory of dedekind complete ordered fields理解實數了。我一開始貼那篇是想告訴你，從集合論建構的戴德金分割出發，可以證明戴德金方法建構的實數跟滿足完備性的有序體(集合)有計算上的一對一(比較刺激一點的話，當然可以從兩個不同的完備性有序體出發)，可以從正整數為基礎去建構和理解每個步驟何樂不為。你把符號訂死當然不會有集合的記號可以用，就像你可以關起門來寫一本烏托邦小說，但你還是要接受反烏托邦的現實。數學家還是需要集合論，而且二階邏輯的語義不但不完備，甚至一樣需要集合論的幫助來建構。

我建議表述為"勒文海姆–斯科倫定理造成了語義解釋上"假性"的計數矛盾，但並沒有完全禁止一階邏輯形式上描述計數。(你那個"刻劃"的定義沒把形式定義的可數跟解釋上的可數做分別，我認為不夠清楚) --C44986054（留言） 2021年11月15日 (一) 02:06 (UTC)[回复]

@C44986054：

「勒文海姆–斯科倫定理最後僅要求只要是自洽一階理論都會有可數模型」在下認同（假設標識中只有可數多個符號）。「勒文海姆–斯科倫定理嚴格來說是基於集合論來定義計數」有一點問題，該定理不是一階集合論內的定理，而是元定理（因為同時談論不同的論域），其中可數與否是按外界（元數學）而言，不是一階集合論內是否可數。
閣下對Mendelson的習題和康托尔定理的解讀是正確的。在下完全認同。
勒文海姆–斯科倫定理當然沒有推出任何矛盾。在下完全認同。
不認同閣下對Johnstone的理解。不可以對論域子集量化是一階邏輯量詞的定義，只可以對論域的元素量化。其後「可數個項和公式」並非去構造這個"病態論域"的部分，而是解釋若嘗試用一階語言表達「對所有子集⋯⋯」會有何問題，即無法排除病態論域，結論是無法表達（若能表達，就能藉閣下「一開始貼那篇，從集合論建構的戴德金分割出發，可以證明戴德金方法建構的實數跟滿足完備性的有序體(集合)有計算上的一對一」，但實數與病態論域之間沒有此種一對一。）
「羅賓遜造出來的"無窮小數"系無法跟實數系一對一，並非是在說明實數系的性質」在下完全認同，但是說明了實數系的理論的性質，換句話說，說明了實數系的一階性質。如在下先前引述，該系「elementarily equivalent to, but not isomorphic to, the ordered field of real numbers」，即超實數系與實數系具有完全一樣的一階理論。
閣下一開始貼那篇是正確的，也是從正整數為基礎去建構和理解每個步驟，在下完全認同，但如在下所言，這是關於「如何在集合論宇宙中找出宇宙的一個元素作為實數系（即閣下的「建構」）」，與「一階理論無法刻劃實數系」完全無關，尤其閣下一開始貼那篇的證明同構時，要用到實數系的高階公理（least upper bound性質）。
在下沒有「堅持用一階版本的theory of dedekind complete ordered fields理解實數」，在下一直認同（高階版本理論下）實數系在同構意義下唯一。但本條目是有關一階邏輯，「一階理論無法刻劃實數系」是一階邏輯的重要結論，並無不可。刻劃顯然是一般數學用詞而非一階理論內的用詞，一階邏輯是研究any first order theory的數學，正如群論是研究theory of groups的數學，數理邏輯中當然可以用一般數學用詞，而不必全面形式化。
「數學家還是需要集合論」是正確的，但與本討論無關。
既然閣下認同勒文海姆–斯科倫定理，請視「一階理論無法刻劃大小」為廣泛使用的，「直觀」解釋勒文海姆-斯科倫定理的口號，不多不少，沒有任何奇怪的意思。在下上課時，先生教完勒文海姆–斯科倫定理的嚴格證明後，都會用此方式解釋。作為通俗說法，置於維基百科條目是合適的（而且如在下解釋刻劃的含義，該口號雖然通俗，但字面還是正確的，沒有犧牲準確性），當然若認為不足亦可同時放嚴謹的敍述，但是形式敍述在學習數學上不能取代直觀。
不支持寫成「勒文海姆–斯科倫定理造成了語義解釋上"假性"的計數矛盾」，因為本來就沒有顯然的矛盾，不應將一階集合論內的計數與外界計數相混。「一階理論無法刻劃大小」只有在該一階理論是集合論之類本身有計數概念的理論時，才會有閣下所說的「假性」矛盾，若一階理論是其他理論如實數系的理論/群的理論/稠密線性序的理論⋯⋯則從來不會令人感到矛盾。換言之，「勒文海姆–斯科倫定理造成了語義解釋上"假性"的計數矛盾」正確，但是「一階理論無法刻劃大小」是更簡明扼要且適用於更大範圍（不只是集合論）。兩句說的是同一現象（勒文海姆–斯科倫定理），前者說明該定理在集合論的意義，後者則直接說明該定理（一般）的意義，所以後者更佳。——HTinC23（留言） 2021年11月15日 (一) 11:22 (UTC)[回复]
- 「"刻劃"的定義沒把形式定義的可數跟解釋上的可數做分別」方面，認同。如前一段所言，不必分別，因為談論的是一階理論，而不只是集合論此種一階理論。一階理論內一般（如theory of groups, theory of ordered field…）沒有形式定義的可數，而只有外界（解釋）的可數，多說反而可能會混淆讀者。——HTinC23（留言） 2021年11月15日 (一) 11:26 (UTC)[回复]
  - 「刻劃」表述的常見程度，請考慮：
    1. 英文維基百科的編者採用（"No first-order theory, however, has the strength to uniquely describe a structure with an infinite domain, such as the natural numbers or the real line. "）
    2. 中文維基百科中，十多年前寫該段的前輩User: Mhss採用。
    3. 在下亦主張採用。
  - 在下認為現時閣下與在下皆認同其含義，不妨改為考慮如何措辭。——HTinC23（留言） 2021年11月15日 (一) 11:33 (UTC)[回复]
    - 再追加類似的句子：Second-order and Higher-order Logic. Stanford Encyclopedia of Philosophy. This is a consequence of a weakness of first order logic: its sentences cannot limit the size of the model unless the size is finite. 在下認同百科全書中應當要有類似的寫法，具體是cannot limit the size還是cannot characterise the size還是cannot uniquely describe the size或類似都可以。——HTinC23（留言） 2021年11月15日 (一) 12:25 (UTC)[回复]
    我認為"No first-order theory, however, has the strength to uniquely describe a structure with an infinite domain, such as the natural numbers or the real line. "這樣的表述是最好的。盡量減少沒有解釋的專有名詞。--C44986054（留言） 2021年11月15日 (一) 12:51 (UTC)[回复]
    很好，那就這樣寫吧。雖然「英文維基也有可能有錯」，但這句的確是正確的。——HTinC23（留言） 2021年11月15日 (一) 15:13 (UTC)[回复]

「該定理不是一階集合論內的定理，而是元定理」，但實際上一階邏輯的語義就是需要集合的概念。手邊可以嚴格化的方法就是仿一階集合論的計數描述。所以你只有在元邏輯加入集合論公理跟相信一階邏輯集合論的兩條路可以選。但不管是哪種都會得到類似康托爾定理的結果。(先不論會不會在元邏輯導致矛盾)
Mendelson證明勒文海姆–斯科倫定理的過程是先將自洽理論擴展成含有可數個"封閉項"(沒有變數的項)的scapegoat理論，擴展的過程為了確保scapegoat的性質，它將所有(可數個)滿足scapegoat性質的公式提升為公理；然後完備自洽的scapegoat理論才能以可數的"封閉項集合"為論域造出一個"模型"。這樣依照前面的擴展，任意自洽理論就會有一個可數論域的模型。

我的意思是將這個以這個構造法建構出的NBG模型是病態的，並非每個模型都是符合我們期待，所以對何謂"合法的理論模型"要做更嚴格的規定。我們不能因為病態模型的存在完全否定一階集合論在其他模型成功解釋實數性質的可能。(除非你能證明任何嘗試描述least upper bound的一階邏輯理論，其模型都是病態的)

「一階語言模型只能對論域元素量化而不能對論域子集量化」先不說這到底有沒一個元定理真的完全禁止這麼做(我也不知道?)，但是NBG集合論的標準解釋是一切視為類，然後集合是特殊的類。 Mendelson 後面也有提出包含"非集合對象"的NBG集合論(4.6.5章節)，這樣前面least upper bound裡的實數子集合和"一對一函數"都只是"身為集合"的論域元素，並不會觸及論域子集量化。
Mendelson說的非標準分析，是在元邏輯的層次偷偷使用集合的概念，我們無法確保這樣的直觀集合概念和一階的NBG集合公理會得出相同的結論。--C44986054（留言） 2021年11月15日 (一) 12:35 (UTC)[回复]
然後我真心懷疑，在元邏輯裡採用一定的集合觀念，會不會就是造成一階邏輯語意解釋上一些矛盾的原因?我個人看法是希望元邏輯僅僅是個描述符號組合代換、符號計數和歸納的規則系統，盡量不要觸及以符號規則無法討論的直觀概念。比如說這篇

https://arxiv.org/abs/0912.2870

表明在元邏輯承認"集合的存在，也就是一階邏輯解釋的過程採用元邏輯內"函數"、"集合"、"有序對"等等的概念，會在論域的層次上推出類似羅素悖論的東西。而基於NBG集合論避開羅素悖論的方法是要求數學的討論只能觸及集合而非全部的"類"，這樣得在元邏輯上面高架一個"元邏輯集合論"，但這個元邏輯集合論必須有量化(因為所謂的集合a定義是存在一個類使得類a屬於這個類)，那這樣就會有元邏輯量化跟邏輯量化蛋生雞雞生蛋的循環解釋問題。--C44986054（留言） 2021年11月15日 (一) 13:02 (UTC)[回复]

@C44986054：「你只有在元邏輯加入集合論公理跟相信一階邏輯集合論的兩條路可以選」基本上是正確的，不過無需限制為「一階邏輯集合論」。康托爾定理當然也是正確的。
「我們不能因為病態模型的存在完全否定一階集合論在其他模型成功解釋實數性質的可能」恕不認同。勒文海姆–斯科倫定理是證明了任何一階理論（包括一階集合論）都無法控制模型的大小，而因此無法描述實數系的性質，因為（用高階邏輯刻劃的）實數系的大小為 $2^{\aleph _{0}}$ ，這是實數系的（元）性質。結論應是：因為病態模型總存在，所以完全否定一階理論（包括一階集合論）唯一描述實數系性質的可能。
關於「你能證明任何嘗試描述least upper bound的一階邏輯理論，其模型都是病態」，勒文海姆–斯科倫定理的結論是任何嘗試描述least upper bound property的一階ordered field理論必有病態模型。同時，若你嘗試從一階set theoretic universe理論出發構造實數系，當然亦有病態模型（因為整個宇宙有可數模型，該宇宙中構造的實數系當然也是（外界認為的）可數集）。
「一階語言模型只能對論域元素量化而不能對論域子集量化」是一階語言中， $\forall$ 的interpretation的定義（Mendelson p.56–57中， $s$ 是denumerable sequence of objects of the domain，而非sequence of subsets of the domain）。認同閣下後半句：在集合論中「實數子集合和"一對一函數"都只是"身為集合"的論域元素，並不會觸及論域子集量化。」
認同閣下總結「非標準分析是在元邏輯的層次偷偷使用集合的概念」。元邏輯中當然有集合概念。即使標準分析也是在元邏輯層次使用集合概念。
所以我等共識是條目中採用「No first-order theory, however, has the strength to uniquely describe a structure with an infinite domain, such as the natural numbers or the real line.」的類似說法即可？（後面閣下的「懷疑」似乎正確，不過與現時探討的問題（條目如何寫）距離較遠，抱歉未克回覆。）——HTinC23（留言） 2021年11月15日 (一) 15:13 (UTC)（2021年11月15日 (一) 15:17 (UTC)增補）[回复]
- 「因為（用高階邏輯刻劃的）實數系...」這段我覺得不妥，你不能用完全不同的形式系統去評斷另一個系統的優劣。優劣的評判應該是取決於語意和現實的對應程度。
- 「勒文海姆–斯科倫定理的結論是...」不知道你說的是不是
https://plato.stanford.edu/entries/paradox-skolem/

2.4所說明的「So, the mere fact that R is countable doesn't, in any interesting sense, generate a paradoxical situation in which the set of all real numbers is also countable.」，這裡也有提到這是因為"不是所有實數都在論域裡"，所以才導致這個荒謬的結論。但是這也是"可數病態模型"不是所有的模型都長這樣。
- 「元邏輯中當然有集合概念」上面我有提到在元邏輯內引入集合概念所造成的矛盾
https://arxiv.org/abs/0912.2870

那這樣在元邏輯下探討"基數"的風險非常大。比如說直觀集合論的康托爾悖論就有可能重現。
- 「一階語言模型只能對論域元素量化而不能對論域子集量化」好的，應該是我沒會意過來。--C44986054（留言） 2021年11月15日 (一) 16:32 (UTC)--C44986054（留言） 2021年11月15日 (一) 17:07 (UTC)[回复]
  - @C44986054：現實的實數系就是那個同構意義下唯一的dedekind complete ordered field啊，當然可以評論一階邏輯是否能夠刻劃現實的實數系。
  - https://plato.stanford.edu/entries/paradox-skolem/ 是由勒文海姆–斯科倫定理得來沒錯，完全同意這是因為"不是所有（現實的）實數都在論域裡"，以及不是所有的模型都長這樣。
  - 康托爾悖論就是鏈結內的「沒有最大基數」嗎？那的確是元邏輯的定理。元邏輯下探討序數和基數是很正常的，教學上甚至有其可取之處，減少學生對於集合論內的形式可數與外界可數的混淆，比如先前引用的劍橋大學講義或2005年同一課程的版本，便是如此編排：第一章講命題邏輯，但之後第二章講序數（包括哈特格斯引理「對任意集合 $X$ ，有不能單射到 $X$ 的序數」，某意義上比康托爾悖論更強，因為康托爾定理中的冪集 $2^{|A|}$ 不一定有良序，但哈特格斯數是序數），是用元邏輯，獨立於任何形式系統講的。一階邏輯到第四章才定義，而集合論更是到第五章才講。
  - 只讀了https://arxiv.org/abs/0912.2870 第一頁，但似乎其結論是元邏輯不能以某類一階理論表達吧，如此就不算「元邏輯內引入集合概念所造成的矛盾」，只是「若元邏輯能在某一階模型內表達，則會矛盾」，亦即「元邏輯不能在某一階模型內表達」。——HTinC23（留言） 2021年11月15日 (一) 19:35 (UTC)（2021年11月15日 (一) 19:46 (UTC)增補）[回复]
    「現實的實數系就是那個同構意義下唯一的dedekind complete ordered field啊」阿你誤會了，我是說高階邏輯。不過你應該很堅持每個模型都必須要有"一樣"的解釋，才回這樣去批評一階邏輯，不過二階邏輯標準語義有範疇性但無完備性；Henkin語義有完備性但沒有範疇性，這樣看來二階邏輯也不是上上之選。所以我覺得用二階集合論去批評一階集合論是沒有意義的。
    
    關於我貼的
    
    https://arxiv.org/abs/0912.2870
    
    你的說法也是一種可能，但這個論文並沒有詳盡的分析這個矛盾的來源。不過
    
    https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/u.osu.edu/dist/a/4597/files/2014/09/mccarty_tennant_jpl1987-1ncyai0.pdf
    
    這篇論文證明了如果採用一階直觉主义逻辑版的ZF集合論，不管這個集合論有多強，勒文海姆–斯科倫定理都是不可證明的(所以"病態"論域也不可能存在)，也就是如果你相信直觉主义逻辑的話，導致矛盾的根源是一階邏輯集合論本身公理"有問題"(沒有符合他們的"構造主義")，導致的。另外再搭配Mendelson的indroduction的最後一段所述，直觉主义逻辑版的一階集合論可以根本的避開羅素悖論，而不像普通一階邏輯集合論要求只能討論集合而非所有的類來消極地避開。或許直觀主義邏輯是改善一階邏輯的解方。
    
    關於要如何敘述"無法好好刻劃實數"這點，我認為要把斯科伦悖论條目附上，類似於「普通的一階邏輯的集合論(如策梅洛-弗兰克尔集合论)無法良好地描述集合基數；因為根據勒文海姆–斯科倫定理，可以構造出一種"病態"集合論模型，使理論上可數的集合在模型下"不可數"；更進一步地，可以如法炮製地構造出另種"病態"模型讓實數系"可數"。這類的悖论被稱為斯科伦悖论。但在一階的直觉主义逻辑下，勒文海姆–斯科倫定理不可證明^[1]，故以一階的直觉主义逻辑描述集合基數並不會有以上的問題。」--C44986054（留言） 2021年11月16日 (二) 16:05 (UTC)[回复]
    @C44986054：在下是認同「不能用完全不同的形式系統去評斷另一個系統的優劣」的，抱歉在下先前說「高階邏輯的實數系」用詞不準確，該處「高階邏輯」是想表達「一階邏輯以外的邏輯」，而不論是否形式，所以是有意包含元邏輯在內的。
    
    在下不堅持每個模型都必須有一樣的解釋，也不清楚閣下認為在下如何「批評」一階邏輯了⋯⋯在下強調的「一階理論無法刻劃大小」並非甚麼激烈的批評啊，而是很中立且數學上正確的評價，僅是陳述邏輯學的一種現象。數理邏輯當然是要研究不同系統有何不同，證到甚麼證不到甚麼等等。在下先前也已強調「一階理論無法刻劃大小」的含義應理解為與勒文海姆-斯科倫定理等同，不同的書中用此寫法（或類似的寫法），也僅是為了用一句直觀的話總結定理的意義，絕無任何貶損之意。當然若閣下使用批評一詞也是用其不帶感情色彩的用法的話，則確實在下（和勒文海姆-斯科倫定理）都「批評」一階邏輯了。
    
    條目可以提及斯科倫悖論。但在下認為不應寫成「集合論無法良好地描述基數」，可以更具體（與勒文海姆–斯科倫定理更接近）寫成「一階理論不能控制其無窮模型的基數大小」。「集合論無法良好地描述基數」可能被錯誤理解為基數的理論不能embed在集合論中，但事實是基數的理論可以很好地embed在集合論中。如在下先前所說，條目主題是一階理論，而不只是集合論此種一階理論。一階理論內一般（如theory of groups）沒有形式定義的可數，多說反而可能會混淆讀者。要表達「一階理論不能控制其無窮模型的基數大小」，甚至可以考慮條目放更易明白的例子：theory of algebraically closed field of characteristic 2既有可數模型 $({\overline {\mathbb {F} _{2}}},+,\times )$ 又有不可數模型（某個transcendental degree $\aleph _{1}$ 的域）、theory of dense linear order就既有可數模型 $(\mathbb {Q} ,<)$ 又有不可數模型 $(\mathbb {R} ,<)$ 。同樣，PA也既有可數模型又有不可數模型、實數系的一階理論也是既有可數模型又有不可數模型、NBG集合論也是既有可數模型又有不可數模型⋯⋯
    
    後面「因為根據勒文海姆–斯科倫定理，可以構造出一種"病態"集合論模型，使理論上可數的集合在模型下"不可數"」一句在下完全認同，同時亦可以考慮改為「因為根據勒文海姆–斯科倫定理，可以構造出一種"病態"集合論模型，使整個模型可數，但模型內卻會覺得自己有「不可數集」」。後一句「更進一步地，可以如法炮製地構造出另種"病態"模型讓實數系"可數"」在下認為不妥，因為如果論述的是集合論模型內的實數系在外界可數，固然正確，但又是同時提及形式上不可數與外界可數，可能混淆讀者，不建議提及集合論模型內的實數系。「實數系的一階理論也是既有可數模型又有不可數模型」已經足夠病態了。
    
    「但在一階的直觉主义逻辑下，勒文海姆–斯科倫定理不可證明」一句似乎沒有可挑剔之處。「故以一階的直觉主义逻辑描述集合基數並不會有以上的問題」又好像不妥了，因為前述的根本不屬於甚麼問題或困難，只是一階邏輯的一種現象？——HTinC23（留言） 2021年11月16日 (二) 22:19 (UTC)[回复]
    
    題外話，編寫條目時請注意MOS:PUNCT，比如引號請用全形（“”或「」，系統會自動轉換），不要用" "，括號也是，半形括號一般只用於外文和數學式。若現條目有誤用的半形符號是其他編輯遺留的，閣下也可以幫忙修正，十分感謝！——HTinC23（留言） 2021年11月16日 (二) 22:28 (UTC)[回复]
    那我將敘述改為：
    普通的一階邏輯理論不能控制其無窮模型的基數大小，因為根據勒文海姆–斯科倫定理和康托爾定理，可以構造出一種(普通一階邏輯的)"病態"集合論模型，使整個模型可數，但模型內卻會覺得自己有「不可數集」。類似地，可以證明實數系的普通一階理論既有可數模型又有不可數模型。這類的悖論被稱為斯科倫悖論。但在一階的直覺主義邏輯下，勒文海姆–斯科倫定理不可證明，故不會有以上之現象。
    
    這樣可以嗎?--C44986054（留言） 2021年11月17日 (三) 04:46 (UTC)[回复]
    @C44986054：抱歉遲覆，似乎沒有問題。放入條目時請將前述來源一併放入ref，為最後一句添加腳註，感謝！——HTinC23（留言） 2021年11月20日 (六) 16:42 (UTC)[回复]
    好的!感謝您耐心地回復跟檢查!辛苦您了!--C44986054（留言） 2021年11月21日 (日) 07:05 (UTC)[回复]

参考資料

^ Skolem's paradox and constructivism Charles McCarty & Neil Tennant

一階邏輯的語義需要的集合概念所引起的問題

@HTinC23：這是把上面還沒討論完的小話題獨立出來。

一階邏輯的模型需要＂集合＂的概念來描述論域，這導致了我們需要含量詞的元語言，去描述一階邏輯模型中的論域，但這個描述論域的元語言量詞，又該如何解釋呢?是不是又需要另一個＂量化語言＂描述呢?這樣我們陷入了量詞解釋的無限循環。有沒有個＂直接的語義＂跟現實對應而不用陷入這種循環呢？

另外去除語義學的一階邏輯，其元邏輯實際上是不需要量詞的，可以參考

https://math.stackexchange.com/questions/1592569/formalizing-the-meta-language-of-first-order-logic-and-studying-it-as-a-formal-s

p.s.另外我刪掉了一個沒看清楚你的敘述所造成的無意義話題~

---C44986054（留言） 2021年11月17日 (三) 10:12 (UTC)[回复]

@C44986054：有趣的問題⋯⋯在下一般不對使用元語言感到憂慮，即僅用元語言解釋一階語言，而不再解釋元語言（這種做法至少在研究一般的數學是沒有問題的，比如用元語言研究一階邏輯）。讀了閣下所引的stackexchange帖文，不過在下實在不了解此種「數學哲學」問題，恕無法給出有意義的回覆。——HTinC23（留言） 2021年11月20日 (六) 16:54 (UTC)[回复]

手機版的bug

手機版的section無法折疊，該bug最早出現於2023年5月20日 (六) 09:07的修訂，希望能尋找一下原因。--42 E Min（留言） 2024年9月14日 (六) 19:11 (UTC)[回复]

[1] Skolem's paradox and constructivism Charles McCarty & Neil Tennant

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