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貝西科維奇覆蓋定理

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數學上,貝西科維奇(Besicovitch)覆蓋定理實分析的一條覆蓋定理。歐氏空間的任何一個有半徑上限的閉球族中,可以取出幾個子集,子集的球互不相交,且覆蓋原來閉球族中所有球的中心,而子集的數目上限只取決於空間的維數

定理敘述

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中的非退化(半徑為正數)族,當中的球的半徑有有限上界,即

A為當中的球的中心組成的集合。那麼中存在子集,每個可數多個互不相交的球的集合,而且

其中是一個僅依賴於n的常數。

證明大概

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先假設A有界集合。依次選取球

  1. 選擇,適合條件
  2. 若已選取。令。若,就停止;若否,選擇,適合條件

有以下性質

  1. 的選取方法可知,若j > i,則
  2. 將全部球的半徑縮至三分之一,從以上不等式,可證這些縮小的球互不相交。
  3. 若有可數無限多球,因A有界,及縮小的球不交的性質,所以球的半徑趨向0。
  4. 。若數目有限,則結果明顯;若數目是無限多,假如有,那麼中有球,而從上一性質知,對足夠大的j,有,與的選取條件矛盾。

k > 1,估算和多少個之前選擇的球相交。先將這樣的按半徑分成兩組:為第一組,為第二組。

對第一組的球,將其縮小成後包含在中。之間互不相交,故總體積不超過的體積。又因,因此相對的比例有一個下限,而這下限僅由維數n決定。所以第一組的球的數目有一個僅依賴於n的上限。

對第二組的球,任取其中兩個球,。考慮以,,作頂點的三角形。因,都和相交,又不在,之內,故有不等式

欲證出此三角形以為頂點的角,不小於一常數。可以假設邊長不大於邊長。如果不在內,則邊長大於。若邊長不小於邊長,則為三角形中最長的邊,所以不小於。若邊長小於邊長,以平面幾何可證得這情形時不小於arccos(5/6)。如果內,必有i < j,故,且不在內,因此邊長大於。可證得這情形時不小於arccos(61/64)。取上述下限的最小者,得出的下限為arccos(61/64)。

因此將第二組各個的球的中心和之間連成直線,則任意兩條直線之間在的夾角不小於arccos(61/64)。為中心的單位球面上,這些直線中任何兩條和球面的交點,其間的球面距離,等於直線間的夾角。直線間的夾角下限,就是交點間的球面距離下限。在單位球面上所能容納的這樣的點的數目,有一個只依賴維數n的上限,這也就是第二組球的數目上限。

和之前的球相交的數目上限,是以上兩組的上限的和,於是這個上限只依賴於維數n。這個上限加1設為。現在從開始依次把球放到子集內。輪到時,因為之前的球中最多有個和相交,因此在個子集中,必定有至少一個所包含的球都不和相交,於是可以把加進這個子集。這樣就得出了子集,滿足條件

對一般的A,設

對每個正整數l,設

將以上結果用到上,得到子集,滿足條件

,設,並設。那麼的球互不相交,且有

因此定理得證。

參見

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參考

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  • Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.