多面體半形
多面體半形，為一類型的射影多面體，同時也是抽象多面體。其可透過將點對稱的球面多面體進行對映映射後得到。多面體半形的面數只有原多面體的一半，而且投影平面上位於邊緣的對角頂點、對角邊、對角面皆視為相同幾何元素。存在半形體的多面體的必要條件為其原像須具備點對稱的特性，而向正四面體不具備點對稱的特性[1]，因此正四面體不存在半形體。
性質
[编辑]若兩多面體互為對偶多面體，則其對應的半形體也互為對偶多面體。例如立方體與正八面體互為對偶多面體，則立方體半形與正八面體半形也互為對偶多面體。多面體的半形體皆為不可定向圖形。[2]
種類
[编辑]正多面體半形
[编辑]除了正四面體外，其他正多面體都存在半形體[3][4][5][6]。
 立方體半形 |
 八面體半形 |
 十二面體半形 |
 二十面體半形 |
均勻多面體半形
[编辑] 截半立方體半形（原像：截半立方體）[7] |
 菱形十二面體半形（原像：菱形十二面體） |
 截角二十面體半形（原像：截角二十面體） |
多面形半形
[编辑]多面形是一種球面多面體，由球面的一點與其對蹠點相連接而成，並將球面分成多個部分。若球面被分割的數量為偶數，則該多面形存在半形體。例如二面形、四面形、六面形等多面形皆存在半形體。[9]
前幾個多面形半形性質如下：
| n | 名稱 | 施萊夫利符號 | 面數 | 邊數 | 頂點數 | 原始立體 | 原始立體的元素數 f:面, e:邊, v:頂點 |
對偶多面體 | 皮特里對偶 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 二面形半形 | {2,2}1[9] | 1 | 1 | 1 | 二面形 | f:2, e:2, v:2 | （自身對偶） | 一角形二面體 (f:2, e:1, v:1)[10] |
| 4 | 四面形半形 | {2,4}4[9] | 2 | 2 | 1 | 四面形 | f:4, e:4, v:2 | 正方形二面體半形 |  {4,4}1,0 (f:1, e:2, v:1)[11] |
| 6 | 六面形半形 | {2,6}3[9] | 3 | 3 | 1 | 六面形 | f:6, e:6, v:2 | 六邊形二面體半形 |  {3,6}1,1 (f:2, e:3, v:1)[12] |
| 8 | 八面形半形 | {2,8}8[9] | 4 | 4 | 1 | 八面形 | f:8, e:8, v:2 | 八邊形二面體半形 | S2:{8,8} (f:1, e:4, v:1)[13] |
| 2n | 2n面形半形 | n | n | 1 | 2n面形 | f:2n, e:2n, v:2 | 2n邊形二面體半形 | (不一定) |
多邊形二面體半形
[编辑]多邊形二面體是指多邊形在三維空間中不會僅有一個面，其正面與反面會成對出現，因此稱為多邊形二面體。而成對出現的面（正面與反面）則滿足多面體半形的定義，僅要原始多邊形具備點對稱特性及可取半形，例如正方形二面體可以取半形體，成為正方形二面體半形。[9][14]
多邊形二面體半形是一種多面體半形，屬於抽象正多面體，有著多邊形二面體一半的面。其對應於圖論中的循環圖。[15]僅有偶數邊數的多邊形二面體可以存在多面體半形。2p邊形二面體半形具有1個面、p條邊和p個頂點，虧格為1，在施萊夫利符號中可以用{2p,2}/2表示。[9][15]
前幾個多邊形二面體半形性質如下：
| n | 名稱 | 施萊夫利符號 | 面數 | 邊數 | 頂點數 | 原始立體 | 原始立體的元素數 f:面, e:邊, v:頂點 |
對偶多面體 | 皮特里對偶 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 |  正方形二面體半形 |
{4,2}4[9] | 1 | 2 | 2 | 正方形二面體 | f:2, e:4, v:4 | 四面形半形[16] | （自身皮特里對偶）[16] |
| 6 |  六邊形二面體半形 |
{6,2}3[9] | 1 | 3 | 3 | 六邊形二面體 | f:2, e:6, v:6 | 六面形半形 | 三角形二面體 (f:2, e:3, v:3)[17] |
| 8 |  八邊形二面體半形 |
{8,2}8[9] | 1 | 4 | 4 | 八邊形二面體 | f:2, e:8, v:8 | 八面形半形[18] | （自身皮特里對偶）[18] |
參考文獻
[编辑]- ^ Henry Cohn. A tight squeeze. Mathematical physics, Nature. 2009, (460): 801–802 [2021-07-31]. doi:10.1038/460801a. （原始内容存档于2021-07-31）.
- ^ Carlo H. Séquin, Tubular Sculptures, CS Division, University of California, Berkeley, CA, 2021-07 [2021-07-31], （原始内容存档于2021-07-31）
- ^ The hemicube. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.
- ^ The hemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2016-03-04）.
- ^ The hemidodecahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2017-03-16）.
- ^ The hemi-icosahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2016-08-29）.
- ^ 7.0 7.1 The hemi-cuboctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-01-26）.
- ^ The hemi-icosidodecahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-08-02）.
- ^ 9.00 9.01 9.02 9.03 9.04 9.05 9.06 9.07 9.08 9.09 Regular maps in the non-orientable surface of genus 1. Regular Map database - map details. [2021-07-31]. （原始内容存档于2019-12-28）.
- ^ The dimonogon. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-07-31）.
- ^ {4,4}(1,0). Regular Map database - map details. [2021-07-24].
- ^ {3,6}(1,1). Regular Map database - map details. [2021-07-24].
- ^ S2:{8,8}. Regular Map database - map details. [2021-07-24].
- ^ N.S.Wedd. Regular Maps in the Projective Plane. Regular Map database, weddslist.com. [2021-07-24]. （原始内容存档于2020-01-28）.
- ^ 15.0 15.1 Séquin, Carlo. Symmetrical immersions of low-genus non-orientable regular maps (PDF). Berkeley University. [2020-08-14]. （原始内容存档 (PDF)于2015-09-23）.
- ^ 16.0 16.1 The hemi-di-square. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2020-02-01）.
- ^ The hemi-di-hexagon. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2016-03-14）.
- ^ 18.0 18.1 The hemi-di-octagon. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2016-03-14）.