概周期函数

在数学中，概周期函数（或殆周期函数）是一类有近似于周期性质的函数，是连续週期函數的推廣。不同的周期函数由于周期不尽相同，其和、差或乘积不一定再是周期函数。概周期函数尽管未必有严格的周期性，但可拥有一些比周期函数更好的性质。这一概念首先于1925年被丹麦数学家哈那德·玻尔引進，后来赫曼·外尔、贝西科维奇等人也有研究和推广。贝西科维奇因概周期函数方面的贡献获得了1931年剑桥大学的亚当斯奖。

定义

概週期函數有若干個等價定義。根据哈那德·玻尔引进的分析學上的定义，一个定义域在实数域上的连续函数$f$ 如果满足：对任意正实数$\epsilon$，都存在实数$l(\epsilon )>0$，使得任意长度为$l(\epsilon )$ 的区间里至少存在一个数$t$，使得对于任意的$x\in \mathbb {R}$，都有：

$\left|f(x+t)-f(x)\right|<\epsilon$

在高维欧几里得空间$\mathbb {R} ^{n}$中，也可以定义类似的概周期向量函数。

按照定义，所有周期函数都是概周期函数。

值域在復平面上的概周期函数与三角多项式函数有密切关系。哈那德·玻尔首先注意到這類型的函數是在研究有限項狄利克雷級數的時候。當把黎曼ζ函数：ζ(s) 截出有限項后，得到的是一些形如

$e^{(\sigma +{\rm {{i}t)\log n}}}\,$

的項。其中的$\sigma +{\rm {{i}t=s}}$。如果只考慮復平面上的一條豎直的直線（也就是說固定s 的實數部份$\sigma$，而實數$t$ 在正負無窮大之間變動），那麼實際上每一項變成：

$t\mapsto n^{\sigma }e^{(\log n)it}\,$

如果只觀察有限個這樣的函數的和（以避免$\sigma <1$ 時的解析开拓的問題），那麼由於對不同的n，$e^{(\log n)it}$是線性獨立的，這個和不再是一個週期函數。

在相關研究中，哈那德·玻尔開始注意形如：

$t\mapsto \sum _{k=1}^{m}e^{i\lambda _{k}t}\,$

的三角多项式函數。它是若干個週期互不相同的週期函數$e^{i\lambda _{k}t}\,$的和。於是概週期函數的另一個定義出現了：如果对每个$\epsilon >0$，都存在三角多项式函数：$T_{\epsilon }(x)$，使得对于任意的$x\in \mathbb {R}$，都有：

$\left|f(x)-T_{\epsilon }(x)\right|<\epsilon$

可以證明，這個定義與第一個定義是等價的。

例子

考虑若干三角多项式函数：

$f_{n}:\,x\longmapsto \sum _{k=1}^{n}\exp(i\lambda _{k}x)$

其中$\lambda _{k}$ 是复数。每一个$f_{n}$ 都是周期函数，因此有限个$f_{n}$ 的和仍然是概周期函数。然而，对于某些和函数，比如说：

$f:\,x\longmapsto \exp(ix)+\exp(i\pi x)$

$f$不是周期函数，但仍然是概周期函数。

性质

• 如同周期函数一样，任何概周期函数都是有界的, 且一致连续。
• 如果$f$ 是概周期函数，那么对于任意实数$a$，$f(x+a)$、$f(ax)$、$af(x)$、$|f(x)|$ 也是概周期函数。
• 如果$f$ 和$g$ 都是概周期函数，那么$f+g$、$f-g$ 和$f\cdot g$ 都是概周期函数。
• 如果$f(x)$ 是概周期函数，$H$是$f$ 的值域到$\mathbb {R}$上的一致连续函数, 则$H(f(x))$也是概周期函数。
• 如果概周期函数的序列$(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$在实轴上一致收敛于函数$f(x)$ ，则$f(x)$ 也是概周期函数。
• 如果$f(x)$ 是概周期函数, 则$f'(x)$ 为概周期函数的充分必要条件是$f(x)$ 的导函数$f'(x)$ 一致连续。
• 如果$f(x)$ 是概周期函数，$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt$，则$F(x)$ 为概周期函数的充要条件为$F(x)$ 有界。

参看

• 伪概周期函数
• 准周期函数
• 非周期函数
• 傅里叶级数
• 计算机音乐

参考书籍

• A.S. Besicovitch, "On generalized almost periodic functions" Proc. London Math. Soc. (2) , 25 (1926) pp. 495-512
• Bochner, S., Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen, Math. Annalen, 1926, 96: 119–147, doi:10.1007/BF01209156 
• H. Bohr, "Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I" Acta Math., 45 (1925) pp. 29–127
• H. Bohr, "Almost-periodic functions" , Chelsea, reprint (1947)
• Bredikhina, E.A., A/a011970, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Bredikhina, E.A., Besicovitch almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Bredikhina, E.A., Bohr almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Bredikhina, E.A., Stepanov almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Bredikhina, E.A., Weyl almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4